Questão 1. Resolva as EDO’S abaixo:
y y^prime prime-y^prime(1+y^prime)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
y,y''-y'l(1+y'r)=0
Aqui a matéria é redução de ordem usando a substituição p=y'. Vamos reduzir a equação de segunda ordem a uma de primeira em p.

Passo 2

Definimos p = dydx. Então
y'' = dpdx = dpdy,dydx = p,dpdy
Substituindo na EDO original:
y!l(p,dpdyr);-;p,(1+p)=0 ;Longrightarrow; y,p,dpdy=p,(1+p)

Passo 3

Assumimos primeiro o ramo pneq0 e dividimos por p:
y,dpdy=1+p
Isso é uma equação separável em p e y.

Passo 4

Separamos e integramos:
dp1+p=dyy ;Longrightarrow; integraldp1+p=integraldyy ;Longrightarrow; lnlvert1+prvert=lnlvert yrvert + C1
Logo
1+p=C,y,
onde C=e^C1 é constante arbitrária. Assim
p=y' = C,y-1

Passo 5

Agora temos a EDO de primeira ordem
dydx=C,y-1
É linear em y. Para Cneq0 usamos fator integrante:
mu(x)=e^-C x,
ddxl(y,e^-C xr)=-e^-C x ;Longrightarrow; y,e^-C x =integral -e^-C x,dx + C2 =1C,e^-C x+C2
Multiplicando por e^C x:
y(x)=1C+K,e^C x,
onde K=C2 é outra constante de integração.

Passo 6

Resta tratar o caso p=0 ou C=0 separado:
  • Se p=y'=0, então y é constante: y(x)=A.
  • Se na relação 1+p=C y tomarmos C=0, vem p=-1, logo
    ;y'=-1;Longrightarrow;y(x)=-x+B
Portanto a solução geral fica:
boxed y(x)=K,e^C x+dfrac1C,&Cneq0,[6pt] y(x)=-x+B, & (,caso C=0!),[3pt] y(x)=A, &(caso y'=0) ]

Resposta

Para constantes arbitrárias C,K,B,A:
(a) y(x)=K,e^C x+dfrac1C com Cneq0.
(b) y(x)=-x+B.
(c) y(x)=A.

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