Verifique, em cada item, se a sequência dada é crescente, não decrescente, decrescente, não crescente ou não monótona.
1n+(sen n)^2

Passo 1

O enunciado pede para classificar a monotonicidade da sequência
an = 1,n + (sen n)^2,
ou seja, verificar se ela é crescente ( an+1>an), não decrescente ( an+1>= an), decrescente ( an+1<an), não crescente ( an+1<= an) ou não monótona. Vamos comparar an+1 com an.

Passo 2

Defina o denominador
Dn = n + sin^2 n
Então
Dn+1-Dn = l(n+1+sin^2(n+1)r)-l(n+sin^2 nr) =1+sin^2(n+1)-sin^2 n
Como sin^2 sempre vale entre 0 e 1, temos
-1<sin^2(n+1)-sin^2 n<1 Longrightarrow Dn+1-Dn>0
Logo, Dn+1>Dn para todo n.

Passo 3

Como an=1/Dn e Dn>0, a desigualdade Dn+1>Dn implica
an+1 = 1Dn+1 < 1Dn = an
Portanto an+1<an para todo n, ou seja, a sequência é estritamente decrescente.

Resposta

A sequência l1/(n+sen^2n)r é decrescente.

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