Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
integral1^2 d xx^2 raiz4-x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral1^2dxx^2raiz4-x^2
Devemos verificar a convergência no ponto x=2 (onde raiz4-x^2to0) e, se convergente, encontrar seu valor exato. Vamos usar substituição trigonométrica para resolver.

Passo 2

Analisamos a singularidade em x=2. Para x próximo de 2, temos raiz4-x^2simraiz2(2-x), então
1x^2raiz4-x^2sim1const,raiz2-x
e o comportamento integral^2(2-x)^-1/2dx é convergente. Logo, a integral propriamente dita converge.

Passo 3

Fazemos a substituição trigonométrica
x = 2sintheta, dx = 2costheta,dtheta, raiz4-x^2 = 2costheta
Quando x=1 temos theta=arcsinl(tfrac12r)=tfracpi6, e quando x=2 temos theta=arcsin(1)=tfracpi2. Além disso x^2=4sin^2theta.

Passo 4

Substituindo na integral,
integral1^2dxx^2raiz4-x^2 =integralpi/6^pi/22costheta,dtheta4sin^2thetacdot2costheta =14integralpi/6^pi/2csc^2theta,dtheta
Sabemos que integralcsc^2theta,dtheta=-cottheta. Portanto,
14l[-cotthetar]pi/6^pi/2 =14l(-cot!tfracpi2+cot!tfracpi6r) =14l(0+raiz3r) =raiz34

Resposta

A integral converge e seu valor é
boxedraiz34

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