Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
Devemos verificar a convergência no ponto
(onde
) e, se convergente, encontrar seu valor exato. Vamos usar substituição trigonométrica para resolver.
Passo 2
Analisamos a singularidade em
. Para
próximo de
, temos
, então
e o comportamento
é convergente. Logo, a integral propriamente dita converge.
Passo 3
Fazemos a substituição trigonométrica
Quando
temos
, e quando
temos
. Além disso
.
Passo 4
Substituindo na integral,
Sabemos que
. Portanto,
Resposta
A integral converge e seu valor é