Questão 3 Resolva a equação diferencial linear
Determine a solução particular que satisfaz a condição inicial
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e a condição inicial
Pergunta: encontrar a solução particular que satisfaz essa condição inicial. Informações relevantes fornecidas: a equação é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem e está escrita na forma
. Não há mais dados ocultos.
Passo 2
Vamos colocar a equação na forma padrão para equações lineares de primeira ordem:
identificando aqui
Quando a equação tem essa forma, um método eficiente é multiplicar por um fator integrante
que transforma o lado esquerdo numa derivada exata. Neste passo eu já escolho esse método porque a equação está linear em
(coeficiente de
igual a
) e o fator integrante é simples de calcular.
Passo 3
Definição do fator integrante: escolhemos
Aqui
, então calculamos a integral
portanto
Explicação de por que isso funciona: pela regra do produto,
Como
, isso dá
que é exatamente o lado esquerdo da equação multiplicada por
.
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
:
Pelo passo anterior, o lado esquerdo é a derivada:
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Vamos calcular a integral
. Faço a substituição
Escrevo
. Assim
Para
uso integração por partes (ou a fórmula conhecida): tomando
e
, obtemos
Portanto
Voltando a
,
Passo 5
Substituindo a integral encontrada em
, obtemos
Dividindo por
(que é sempre positivo, então a divisão é válida para todo
) temos a solução geral:
Aqui
é a constante arbitrária que será determinada pela condição inicial.
Passo 6
Aplicamos a condição inicial
. Calculo
a partir da solução geral:
Impondo
obtemos
Logo a solução particular que satisfaz a condição inicial é