Questão 3 Resolva a equação diferencial linear
y^{\prime}+2 x y=x^{3}
Determine a solução particular que satisfaz a condição inicial y(0)=1.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y^{\prime}+2 x y=x^{3}
e a condição inicial
y(0)=1.
Pergunta: encontrar a solução particular que satisfaz essa condição inicial. Informações relevantes fornecidas: a equação é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem e está escrita na forma y^{\prime}+2 x y=x^{3}. Não há mais dados ocultos.

Passo 2

Vamos colocar a equação na forma padrão para equações lineares de primeira ordem:
y^{\prime}+p(x)\,y=q(x),
identificando aqui
p(x)=2x,\qquad q(x)=x^{3}.
Quando a equação tem essa forma, um método eficiente é multiplicar por um fator integrante \mu(x) que transforma o lado esquerdo numa derivada exata. Neste passo eu já escolho esse método porque a equação está linear em y (coeficiente de y' igual a 1) e o fator integrante é simples de calcular.

Passo 3

Definição do fator integrante: escolhemos
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right).
Aqui p(x)=2x, então calculamos a integral
\int p(x)\,dx=\int 2x\,dx = x^{2},
portanto
\mu(x)=e^{x^{2}}.
Explicação de por que isso funciona: pela regra do produto,
\frac{d}{dx}\bigl(\mu(x)\,y(x)\bigr)=\mu(x)\,y^{\prime}(x)+\mu^{\prime}(x)\,y(x).
Como \mu^{\prime}(x)=p(x)\mu(x), isso dá
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x^{2}}y\bigr)=e^{x^{2}}y^{\prime}+2x e^{x^{2}}y,
que é exatamente o lado esquerdo da equação multiplicada por e^{x^{2}}.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=e^{x^{2}}:
e^{x^{2}}y^{\prime}+2x e^{x^{2}}y = x^{3} e^{x^{2}}.
Pelo passo anterior, o lado esquerdo é a derivada:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x^{2}}y\bigr)=x^{3} e^{x^{2}}.
Agora integramos ambos os lados em relação a x:
e^{x^{2}}y=\int x^{3} e^{x^{2}}\,dx + C,
onde C é a constante de integração. Vamos calcular a integral \int x^{3} e^{x^{2}}\,dx. Faço a substituição
u=x^{2}\quad\Rightarrow\quad du=2x\,dx\quad\Rightarrow\quad x\,dx=\frac{1}{2}du.
Escrevo x^{3}dx=x^{2}\cdot x\,dx = u\cdot \frac{1}{2}du. Assim
\int x^{3} e^{x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\int u e^{u}\,du.
Para \int u e^{u}\,du uso integração por partes (ou a fórmula conhecida): tomando A=u e dB=e^{u}du, obtemos
\int u e^{u}\,du = u e^{u} - \int e^{u}\,du = u e^{u} - e^{u} + C.
Portanto
\int x^{3} e^{x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\bigl(u e^{u} - e^{u}\bigr)+C = \frac{1}{2}(u-1)e^{u}+C.
Voltando a x,
\int x^{3} e^{x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}(x^{2}-1)e^{x^{2}} + C.

Passo 5

Substituindo a integral encontrada em e^{x^{2}}y=\int x^{3} e^{x^{2}}\,dx + C, obtemos
e^{x^{2}}y = \frac{1}{2}(x^{2}-1)e^{x^{2}} + C.
Dividindo por e^{x^{2}} (que é sempre positivo, então a divisão é válida para todo x) temos a solução geral:
y(x)=\frac{1}{2}(x^{2}-1) + C e^{-x^{2}}.
Aqui C é a constante arbitrária que será determinada pela condição inicial.

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(0)=1. Calculo y(0) a partir da solução geral:
y(0)=\frac{1}{2}(0^{2}-1) + C e^{0} = -\frac{1}{2} + C.
Impondo y(0)=1 obtemos
-\frac{1}{2} + C = 1 \quad\Rightarrow\quad C = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}.
Logo a solução particular que satisfaz a condição inicial é
y(x)=\frac{1}{2}(x^{2}-1) + \frac{3}{2}e^{-x^{2}}.

Resposta

y(x)=\frac{1}{2}(x^{2}-1)+\frac{3}{2}e^{-x^{2}}

Exercícios relacionados