Questão 2.

(a) Resolva a equação diferencial
y^prime prime=x(y^prime)^2
(b) Encontre a expressão da solução e o intervalo máximo de definição da solução para o problema de valor inicial
y^prime prime=x(y^prime)^2, y(0)=3, y^prime(0)=2
(c) Faça o mesmo para
y^prime prime=x(y^prime)^2, y(2)=3+ln 3, y^prime(2)=-23

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
y'' = x,(y')^2
ou seja, é uma equação de segunda ordem que envolve apenas y' e y''. Vamos usar redução de ordem, definindo p(x)=y'(x), e depois integrar para obter y(x). Nos itens (b) e (c) aplicaremos condições iniciais para determinar as constantes e o maior intervalo em que a solução fica bem definida.

Passo 2

Defina p=y'. Então
y'' = dpdx
e a equação vira
dpdx ;=; x,p^2
Isto é uma equação de primeira ordem em p.

Passo 3

Separe variáveis e integre:
integral p^-2,dp ;=;integral x,dx
No lado esquerdo integral p^-2dp=-p^-1, no direito integral x,dx=tfracx^22. Logo
-,1p = x^22 + C1 Longrightarrow 1p = C2 - x^22,
onde C2=-C1. Portanto
y' = p = 1C2 - tfracx^22

Passo 4

Para achar y, integramos
y = integral dxC2 - tfracx^22 + C3
Colocando k=2C2 a integral fica
integral dxtfrack - x^22 = integral 2,dxk - x^2 = 1raizk, lnl|raizk+xraizk-xr| + const
Logo a solução geral (para k>0) é
y(x) = C3 ;+;1raizk lnl|raizk+xraizk-xr|, y'(x)=2,k - x^2,

Passo 5

Item (b):
Condições y(0)=3, y'(0)=2.
Pela fórmula de y':
2 = y'(0) = 2k - 0;Longrightarrow;k=1
Então
y'(x)=21 - x^2, y(x)=C3 + lnl|1+x1-xr|
Em x=0, y(0)=C3=3. Fica
y(x)=3 + lnl(1+x1-xr),
e o maior intervalo em que o argumento do log é positivo e não cruza x=pm1 é
boxed(-1,,1)

Passo 6

Item (c):
Condições y(2)=3+ln3, y'(2)=-tfrac23.
De novo
y'(2)=2k - 4 = -23 ;Longrightarrow;k-4=-3;Longrightarrow;k=1
A solução geral com k=1 é
y(x)=C3 + lnl|1+x1-xr|
Em x=2 o módulo faz l|tfrac1+21-2r|=3, e
y(2)=C3 + ln(3)=3+ln3 ;Longrightarrow;C3=3
Logo
y(x)=3 + lnl|1+x1-xr|
Como a condição dada é em x=2, o log só faz sentido sem cruzar o ponto singular x=1 no intervalo contendo 2. O maior intervalo é
boxed(1,,infty)

Resposta

(a) y'(x)=dfrac2,k-x^2,, y(x)=C3+dfrac1raizklnl|tfracraizk+xraizk-xr|
(b) y(x)=3+ln!l(tfrac1+x1-xr), xin(-1,1)
(c) y(x)=3+ln!l|tfrac1+x1-xr|, xin(1,infty)

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