Questão 1. Resolva as equações diferenciais abaixo, reduzindo a uma equação de primeira ordem:
y y^prime prime=(y^prime)^2+y^2 y^prime, y(0)=-12, y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
y,y'' = (y')^2 + y^2,y'
com as condições iniciais
y(0) = -tfrac12, y'(0)=1
O conteúdo aqui é a redução de ordem para equações autônomas (que não contêm x explicitamente), usando a substituição
p(y)=y', y''=p,dpdy

Passo 2

Fazendo y'=p(y) e y''=p,dp/dy, a equação fica
y;p;dpdy = p^2 + y^2,p
Como pneq0 perto de x=0, dividimos por p e obtemos
y,dpdy = p + y^2
Esta é uma equação de primeira ordem em p(y).

Passo 3

Reescrevendo em forma padrão
dpdy - 1y,p = y,
identificamos fator integrante
mu(y) = expl(-integral1ydyr)=1y
Multiplicando tudo por 1/y vem
ddyl(pyr)=1,
logo integrando em y:
py=y + C1 ;Longrightarrow; p(y)=y^2 + C1,y

Passo 4

Voltando a p=y', temos a primeira ordem
dydx=y^2 + C1,y
Usando a condição y(0)=-tfrac12 e y'(0)=p(0)=1, obtemos
1 = l(-tfrac12r)^2 + C1l(-tfrac12r) = tfrac14 - tfracC12 ;Longrightarrow; C1=-tfrac32
Assim
dydx=y^2 - tfrac32,y

Passo 5

Separamos variáveis:
integraldyy,(y-tfrac32) = integral dx
Fazendo frações parciais,
1y(y-tfrac32) =-2/3y+2/3y-tfrac32,
então
-tfrac23ln|y|+tfrac23lnl|y-tfrac32r|=x+C2

Passo 6

Juntando logaritmos,
lny-tfrac32y=tfrac32x + C3,
daí
y-tfrac32y=A,e^tfrac32x ;Longrightarrow; yl(1 - A,e^tfrac32xr)=tfrac32 ;Longrightarrow; y(x)=tfrac321 - A,e^tfrac32x
Usando y(0)=-tfrac12
-tfrac12 = tfrac321 - A ;Longrightarrow; 1 - A=-3 ;Longrightarrow; A=4

Resposta

boxedy(x)=tfrac321 - 4,e^tfrac32x =32 - 8,e^tfrac32x

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