4.5G Para o campo F(x, y)=-yx^2+y^2 i+xx^2+y^2 j, mostre que div(F)=0 e rot(F)=0 em R^2 backslash(0,0). Dê exemplo de um campo vetorial F para o qual rot(F)=0 e div(F)=5. [resp. F=5 x i]

Passo 1

O enunciado apresenta o campo vetorial
vec F(x,y) = -yx^2+y^2,vec i + xx^2+y^2,vec j
e pede para mostrar que div(vec F)=0 e rot(vec F)=0 em R^2setminus(0,0). Depois, quer um exemplo de campo vetorial cujo rotacional seja nulo e cuja divergência valha 5.

Passo 2

Para calcular a divergência usamos
divvec F = partialpartial xl(-yx^2+y^2r) + partialpartial yl(xx^2+y^2r)
Como
partialpartial xl(-yx^2+y^2r) = -,ycdotpartialpartial x(x^2+y^2)^-1 = -,yl(-1r)2x(x^2+y^2)^2 = 2xy(x^2+y^2)^2,
e
partialpartial yl(xx^2+y^2r) = xcdotpartialpartial y(x^2+y^2)^-1 = xl(-1r)2y(x^2+y^2)^2 = -2xy(x^2+y^2)^2,
segue que
divvec F = 2xy(x^2+y^2)^2 -2xy(x^2+y^2)^2 =0

Passo 3

Para o rotacional em R^3 (supondo F3=0) temos
rotvec F =nablatimesvec F =(0,0,partialxF2-partialyF1)
Calculemos
partialpartial xl(xx^2+y^2r) =(x^2+y^2)-2x^2(x^2+y^2)^2 =y^2-x^2(x^2+y^2)^2,
partialpartial yl(-yx^2+y^2r) =-(x^2+y^2)-2y^2(x^2+y^2)^2 =-x^2-y^2(x^2+y^2)^2 =y^2-x^2(x^2+y^2)^2,
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partialxF2-partialyF1 =y^2-x^2(x^2+y^2)^2 -y^2-x^2(x^2+y^2)^2 =0,
e portanto rotvec F=(0,0,0)=0

Passo 4

Um exemplo simples de campo com rot=0 e div=5 é
vec G(x,y)=5x,vec i
De fato,
divvec G =partialpartial x(5x)+partialpartial y(0) =5+0=5, rotvec G =(0,0,partialx0-partialy(5x)) =(0,0,0)

Resposta

vec F(x,y)=5x,vec i

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