Questão 4 Resolva as seguintes equações para
.
Passo 1
Enunciado: resolver a equação diferencial para
O que nos é dado: uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes que são potências de
. O que se pede: encontrar a solução geral
válida em
.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): quando os coeficientes da equação são potências inteiras de
(aqui
,
e constante), uma tentativa natural é procurar soluções do tipo
, com
sendo um número (que pode ser complexo). Isso acontece porque potências de
mantêm a mesma forma ao ser derivadas, o que transforma a EDO numa equação algébrica para
. Agora vou mostrar passo a passo essa tentativa.
Passo 3
Calcular as derivadas de
. Usando regras de derivação:
Substituindo na equação dada:
Fatorando
(e lembrando que para
isso nunca é zero), obtemos a equação característica
Simplificando:
Passo 4
Resolver a quadrática
. Calculamos o discriminante:
Como
, as raízes são complexas:
Então temos as raízes
e
. Escrevo-as no padrão
com
e
.
Passo 5
Como as raízes são complexas conjugadas
, a forma geral das soluções reais para esse tipo de equação (Euler–Cauchy) é
onde
e
são constantes reais arbitrárias. Explico por que isso funciona: para
,
Tomando combinações lineares reais das duas soluções complexas obtemos exatamente a expressão com cosseno e seno acima. Aplicando
e
chegamos à solução geral real:
Passo 6
Portanto a solução geral da equação para
é
com
. Note que o domínio
é necessário para
estar definido.