Questão 4 Resolva as seguintes equações para x>0.
x^{2} y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+5 y=0

Passo 1

Enunciado: resolver a equação diferencial para x>0
x^{2}y'' - x y' + 5y = 0.
O que nos é dado: uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes que são potências de x. O que se pede: encontrar a solução geral y(x) válida em x>0.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): quando os coeficientes da equação são potências inteiras de x (aqui x^{2}, -x e constante), uma tentativa natural é procurar soluções do tipo y=x^{m}, com m sendo um número (que pode ser complexo). Isso acontece porque potências de x mantêm a mesma forma ao ser derivadas, o que transforma a EDO numa equação algébrica para m. Agora vou mostrar passo a passo essa tentativa.

Passo 3

Calcular as derivadas de y=x^{m}. Usando regras de derivação:
y = x^{m},\qquad y' = m x^{m-1},\qquad y'' = m(m-1)x^{m-2}.
Substituindo na equação dada:
x^{2}\cdot m(m-1)x^{m-2} - x\cdot m x^{m-1} + 5\cdot x^{m} = 0.
Fatorando x^{m} (e lembrando que para x>0 isso nunca é zero), obtemos a equação característica
m(m-1)-m+5=0.
Simplificando:
m^{2}-2m+5=0.

Passo 4

Resolver a quadrática \,m^{2}-2m+5=0. Calculamos o discriminante:
\Delta = (-2)^{2}-4\cdot1\cdot5 = 4-20 = -16.
Como \Delta<0, as raízes são complexas:
m = \frac{2\pm\sqrt{-16}}{2} = \frac{2\pm 4i}{2} = 1\pm 2i.
Então temos as raízes m_{1}=1+2i e m_{2}=1-2i. Escrevo-as no padrão \alpha\pm i\beta com \alpha=1 e \beta=2.

Passo 5

Como as raízes são complexas conjugadas \alpha\pm i\beta, a forma geral das soluções reais para esse tipo de equação (Euler–Cauchy) é
y(x)=x^{\alpha}\big(C_{1}\cos(\beta\ln x)+C_{2}\sin(\beta\ln x)\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais arbitrárias. Explico por que isso funciona: para x>0,
x^{\alpha\pm i\beta}=x^{\alpha}x^{\pm i\beta}=x^{\alpha}e^{\pm i\beta\ln x} = x^{\alpha}\big(\cos(\beta\ln x)\pm i\sin(\beta\ln x)\big).
Tomando combinações lineares reais das duas soluções complexas obtemos exatamente a expressão com cosseno e seno acima. Aplicando \alpha=1 e \beta=2 chegamos à solução geral real:

Passo 6

Portanto a solução geral da equação para x>0 é
y(x)=x\big(C_{1}\cos(2\ln x)+C_{2}\sin(2\ln x)\big),
com C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}. Note que o domínio x>0 é necessário para \ln x estar definido.

Resposta

y(x)=x\big(C_{1}\cos(2\ln x)+C_{2}\sin(2\ln x)\big)

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