Resolva as equações diferenciais abaixo:
(2 x y+x) d x+\left(x^{2}+y\right) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(2xy + x)\,dx + \bigl(x^2 + y\bigr)\,dy = 0
e pede para encontrar sua solução geral. Trata-se de uma equação exata se conseguirmos escrever
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
com
M(x,y) = 2xy + x, \quad N(x,y) = x^2 + y,
e verificar a condição de exatidão.

Passo 2

Verificamos a exatidão calculando as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2xy + x) = 2x
e
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + y) = 2x.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Buscamos uma função potencial \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x} = M(x,y) \quad\text{e}\quad \frac{\partial \psi}{\partial y} = N(x,y).
Integrando M em relação a x,
\psi(x,y) = \int (2xy + x)\,dx = x^2 y + \frac{x^2}{2} + h(y),
onde h(y) é função a determinar. Agora impondo
\frac{\partial \psi}{\partial y} = x^2 + h'(y) \stackrel{!}{=} N(x,y) = x^2 + y,
vem
h'(y) = y \quad\Longrightarrow\quad h(y) = \frac{y^2}{2}.
Logo
\psi(x,y) = x^2 y + \frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{2}.

Passo 4

A solução geral da equação diferencial exata é dada implicitamente por
\psi(x,y) = C,
ou seja
x^2 y + \frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{2} = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

x^2 y + \frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{2} = C.

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