Questão 1: Resolva as equações diferenciais, encontrando sua solução geral.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem (não linear)
(1+x),y’ + y = \sqrt{y}.
(1+x),y’ + y = \sqrt{y}.
Passo 2
Vamos reconhecer que é uma equação de Bernoulli com y’ + P(x),y = Q(x),y^n, onde n = 1/2. Primeiro colocamos em forma padrão dividindo por (1+x):
\
\
Passo 3
Na equação de Bernoulli fazemos a substituição v = y^{1-n} = y^{1-1/2} = y^{1/2}. Então y = v^2 e y’ = 2v,v’. Substituímos na equação:
Dividindo por v (assumindo v\neq0) e por 2(1+x) obtemos:
Passo 4
Essa é uma equação linear em v:
$$
v
v
Passo 5
Calculamos o fator integrante
Passo 6
Multiplicando tudo por
a equação vira derivada de produto:
Passo 7
Integramos ambos os lados:
Passo 8
Logo
Passo 9
Voltando à variável y = v^2, obtemos a solução geral não-trivial:
Passo 10
Além disso, y\equiv0 é solução trivial do problema original, pois substitui e verifica a identidade 0=0.
Resposta
Solução geral: y(x) = 0 ou y(x) = \bigl(1 + C/\sqrt{1+x}\bigr)^2, onde C é constante arbitrária.