Questão 1: Resolva as equações diferenciais, encontrando sua solução geral.
(1+x) y^prime+y=raizy

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem (não linear)

(1+x),y’ + y = \sqrt{y}.

Passo 2

Vamos reconhecer que é uma equação de Bernoulli com y’ + P(x),y = Q(x),y^n, onde n = 1/2. Primeiro colocamos em forma padrão dividindo por (1+x):
\
y' + 11+x,y = 11+x,y^1/2

Passo 3

Na equação de Bernoulli fazemos a substituição v = y^{1-n} = y^{1-1/2} = y^{1/2}. Então y = v^2 e y’ = 2v,v’. Substituímos na equação:
(1+x),2v,v' + v^2 = v
Dividindo por v (assumindo v\neq0) e por 2(1+x) obtemos:
v' = 1-v2(1+x)

Passo 4

Essa é uma equação linear em v:
$$
v

Passo 5

Calculamos o fator integrante
mu(x) = e^integral 12(1+x),dx = (1+x)^1/2

Passo 6

Multiplicando tudo por mu(x) a equação vira derivada de produto:
ddxl(v,(1+x)^1/2r) = 12(1+x)^-1/2

Passo 7

Integramos ambos os lados:
v,(1+x)^1/2 = integral 12(1+x)^-1/2dx + C = (1+x)^1/2 + C

Passo 8

Logo
v = 1 + C,(1+x)^-1/2

Passo 9

Voltando à variável y = v^2, obtemos a solução geral não-trivial:
y(x) = l(1 + Craiz1+xr)^2,

Passo 10

Além disso, y\equiv0 é solução trivial do problema original, pois substitui e verifica a identidade 0=0.

Resposta

Solução geral: y(x) = 0 ou y(x) = \bigl(1 + C/\sqrt{1+x}\bigr)^2, onde C é constante arbitrária.

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