Um tanque de 2000 litros tem capacidade para no máximo 150 peixes. Seis peixes são colocados no tanque. Suponha que a taxa de crescimento da população seja dada pela equação
(2,0pt)
sendo to tempo medido em semanas.
(a) Determine uma fórmula para a população de peixes em função de
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(a) Determine uma fórmula para a população de peixes em função de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um tanque que pode segurar no máximo 150 peixes, mas inicialmente só colocamos 6 peixinhos lá. A gente quer descobrir como a população de peixes vai crescer ao longo do tempo, medido em semanas. Para isso, vamos usar uma equação diferencial que descreve essa taxa de crescimento da população:
Aqui, $ P $ representa a quantidade de peixes no tanque em um determinado tempo $ t $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que temos. Ela é do tipo equação logística, que é usada para modelar o crescimento de populações quando há uma capacidade máxima de suporte, nesse caso, 150 peixes. A equação geral da logística é:
Onde:
- $ r $ é a taxa de crescimento.
- $ K $ é a capacidade de suporte (neste caso, 150 peixes).
Comparando com a nossa equação:
Podemos ver que $ r = 0,0015 $ e $ K = 150 $.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação diferencial para encontrar $ P(t) $, a população de peixes em função do tempo. A solução geral da equação logística é:
Onde $ A $ é uma constante que determinamos usando a condição inicial. Sabemos que no tempo $ t = 0 $, temos 6 peixes, ou seja, $ P(0) = 6 $.
Passo 4
Vamos aplicar a condição inicial para encontrar $ A $. Substituindo $ t = 0 $ e $ P(0) = 6 $ na solução geral:
Resolvendo para $ A $:
Passo 5
Com o valor de $ A $ encontrado, podemos escrever a fórmula específica para a nossa situação:
Essa é a expressão que nos dá o número de peixes no tanque em qualquer semana $ t $.
Resposta
A população de peixes em função do tempo $ t $ é dada por: