Questão 3. Resolva as equações diferenciais homogêneas ou redutíveis a homogênea abaixo:
Passo 1
Temos a equação diferencial . Essa é uma EDO de primeira ordem homogênea, pois as funções que multiplicam e são ambas de grau 2. Para resolver, vamos usar a substituição típica para EDOs homogêneas: .
Passo 2
Dividindo a equação por , ficamos com
Isso deixa claro o formato para aplicar a substituição.
Passo 3
Fazendo , temos
Substituindo na equação, vem
ou seja
Passo 4
Agora a equação é separável. Escrevemos
Para integrar o lado esquerdo, usamos frações parciais:
Logo,
Então
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por 2 e exponenciando, temos
lnl|uu+2r| = -2ln|x| + C' = lnl|x^-2r| + C'
portanto
uu+2 = Kx^2,
onde K = e^C' é constante. Substituindo de volta u = y/x, obtemos a solução implícita