Questão 3. Resolva as equações diferenciais homogêneas ou redutíveis a homogênea abaixo:

Passo 1

Temos a equação diferencial x^2,dy + (x y + y^2),dx = 0. Essa é uma EDO de primeira ordem homogênea, pois as funções que multiplicam dx e dy são ambas de grau 2. Para resolver, vamos usar a substituição típica para EDOs homogêneas: y = x u.

Passo 2

Dividindo a equação por dx, ficamos com
dydx = -x y + y^2x^2 = -yx - y^2x^2
Isso deixa claro o formato para aplicar a substituição.

Passo 3

Fazendo y = x u, temos
dydx = u + xdudx
Substituindo na equação, vem
u + xdudx = -u - u^2,
ou seja
xdudx = -(u^2 + 2u)

Passo 4

Agora a equação é separável. Escrevemos
duu(u+2) = -dxx
Para integrar o lado esquerdo, usamos frações parciais:
1u(u+2) = 1/2u - 1/2u+2
Logo,
integral duu(u+2) = 12l(ln|u| - ln|u+2|r),
-integral dxx = -ln|x|
Então
12lnl|uu+2r| = -ln|x| + C

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por 2 e exponenciando, temos
lnl|uu+2r| = -2ln|x| + C' = lnl|x^-2r| + C'
portanto
uu+2 = Kx^2,
onde K = e^C' é constante. Substituindo de volta u = y/x, obtemos a solução implícita

Passo 6

yy + 2x = Kx^2

Resposta

A solução implícita geral é
yy + 2x = Cx^2,
onde C é constante de integração.

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