Questão 3. Resolva as equações diferenciais homogêneas ou redutíveis a homogênea abaixo:
(x-y) d x+2 x d y=0

Passo 1

Temos a equação diferencial (x - y),dx + 2x,dy = 0, que é homogênea porque as funções envolvidas são homogêneas de grau 1. Isso significa que podemos usar a substituição y = u,x (onde u é uma função de x) para transformar a equação em uma forma separável.

Passo 2

Fazendo y = u,x temos dy = u,dx + x,du. Substituindo em (x - y),dx + 2x,dy = 0 obtemos:
(x - u x),dx + 2xl(u,dx + x,dur) = 0

Passo 3

Agora simplificamos os termos:
x(1 - u),dx + 2xu,dx + 2x^2,du = 0 ,Rightarrow, x(1 + u),dx + 2x^2,du = 0
Dividindo por x (supondo xneq0):
(1 + u),dx + 2x,du = 0

Passo 4

Reorganizando para separar variáveis:
dxx + 2du1 + u = 0
Integramos ambos os lados:
integral dxx + 2integral du1 + u = ln|x| + 2ln|1 + u| = C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Reescrevendo a constante em forma exponencial, temos
lnl|x(1 + u)^2r| = C Longrightarrow x(1 + u)^2 = K,
com K = e^C. Voltando à variável original y = u,x, nota-se que 1+u = (x+y)/x. Então:
xl(x+yxr)^2 = K Rightarrow (x+y)^2 = K,x

Passo 6

Assim chegamos à solução geral implícita da equação diferencial.

Passo 7

Na teoria, toda equação homogênea de primeira ordem pode ser reduzida a uma equação separável pelo método y = u,x, pois isso explora o fato de que M(tx,ty)=t^nM(x,y) e N(tx,ty)=t^nN(x,y). Aqui usamos n=1.

Resposta

A solução geral é dada implicitamente por (x+y)^2 = C,x, onde C é uma constante de integração.

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