Questão 3. Resolva as equações diferenciais homogêneas ou redutíveis a homogênea abaixo:
Passo 1
Temos a equação diferencial , que é homogênea porque as funções envolvidas são homogêneas de grau 1. Isso significa que podemos usar a substituição (onde é uma função de ) para transformar a equação em uma forma separável.
Passo 2
Fazendo temos . Substituindo em obtemos:
Passo 3
Agora simplificamos os termos:
Dividindo por (supondo ):
Passo 4
Reorganizando para separar variáveis:
Integramos ambos os lados:
onde é constante de integração.
Passo 5
Reescrevendo a constante em forma exponencial, temos
com K = e^C. Voltando à variável original y = u,x, nota-se que 1+u = (x+y)/x. Então: xl(x+yxr)^2 = K Rightarrow (x+y)^2 = K,x
Passo 6
Assim chegamos à solução geral implícita da equação diferencial.
Passo 7
Na teoria, toda equação homogênea de primeira ordem pode ser reduzida a uma equação separável pelo método y = u,x, pois isso explora o fato de que M(tx,ty)=t^nM(x,y) e N(tx,ty)=t^nN(x,y). Aqui usamos n=1.
Resposta
A solução geral é dada implicitamente por (x+y)^2 = C,x, onde C é uma constante de integração.