Determine a solução geral das equações abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial $ y’’ - 8y’ + 16y = 0 $. Esse tipo de equação é chamado de equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar a teoria das equações características, que ajuda a encontrar soluções gerais para essas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica associada à equação diferencial. Para isso, substituímos $ y’’ $ por $ r^2 $, $ y’ $ por $ r $ e $ y $ por 1. Então, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Passo 4
Percebi que o discriminante ($ b^2 - 4ac $) foi zero, o que significa que temos raízes reais e iguais. Quando isso ocorre, a solução geral da equação diferencial é dada por:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vão depender das condições iniciais, e $ r $ é a raiz encontrada.
Passo 5
Substituindo o valor de $ r = 4 $ na fórmula da solução geral, temos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial $ y’’ - 8y’ + 16y = 0 $ é: