Questão 5. Resolva as equações de EULER.
t^2 y^prime prime-3 t y^prime-2 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de Euler
t^2y''-3t,y'-2y=0,
que é uma equação de Cauchy–Euler. Para esse tipo de equação a ideia é tentar uma solução na forma de potência
y(t)=t^r.

Passo 2

Assumindo
y(t)=t^r,
temos
y'(t)=r,t^r-1, y''(t)=r(r-1),t^r-2
Substituindo na equação original:
t^2l[r(r-1)t^r-2r]-3tl[r,t^r-1r]-2,t^r =l[r(r-1)-3r-2r],t^r=0
Como t^rneq0 (em t>0 ou t<0, excluindo t=0), obtemos a equação característica
r(r-1)-3r-2=0

Passo 3

Desenvolvendo a característica:
r^2-r-3r-2=r^2-4r-2=0
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
r=4pmraiz(-4)^2-4cdot1cdot(-2)2 =4pmraiz16+82 =4pmraiz242 =2pmraiz6

Passo 4

Como as raízes são reais e distintas, r1=2+raiz6 e r2=2-raiz6, a solução geral da equação de Euler é
y(t)=C1,t^,2+raiz6+C2,t^,2-raiz6,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

boxedy(t)=C1,t^2+raiz6+C2,t^2-raiz6

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