Resolva pelo método da variação dos parâmetros:
y^prime prime+9 y=9 cossec(3 t)

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo método da variação de parâmetros, a equação diferencial não homogênea
y'' + 9y = 9,csc(3t)
O conteúdo envolve EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos primeiro achar a solução geral da equação homogênea associada e depois aplicar variação de parâmetros para obter uma solução particular.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' + 9y = 0
A equação característica é
lambda^2 + 9 = 0 Longrightarrow lambda = pm 3i,
logo as soluções fundamentais são
;y1(t) = cos(3t), y2(t) = sin(3t)

Passo 3

Para usar variação de parâmetros precisamos do Wronskiano de y1 e y2. Calculamos:
W(y1,y2)(t) = cos(3t) & sin(3t)[6pt] -3sin(3t) & 3cos(3t) =3l(cos^2(3t)+sin^2(3t)r)=3 ]

Passo 4

As fórmulas de variação de parâmetros dizem que existem u1(t) e u2(t) tais que
u1' = -f(t),y2(t)W, u2' = f(t),y1(t)W,
onde f(t)=9,csc(3t). Assim,
u1'(t)=-9,csc(3t),sin(3t)3=-3,
u2'(t)=9,csc(3t),cos(3t)3=3cot(3t)

Passo 5

Integramos para obter u1 e u2:
u1(t)=integral -3,dt=-3t,
u2(t)=integral 3cot(3t),dt =3cdot13lnl|sin(3t)r| =lnl|sin(3t)r|
A solução particular é
yp = u1,y1 + u2,y2 =-3tcos(3t)+lnl|sin(3t)r|;sin(3t)

Passo 6

A solução geral da equação original é a soma da homogênea com a particular:
y(t)=C1cos(3t)+C2sin(3t);-;3tcos(3t);+;sin(3t),lnl|sin(3t)r|

Resposta

y(t)=C1cos(3t)+C2sin(3t);-;3tcos(3t);+;sin(3t),lnl|sin(3t)r|

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