(Vale 20,0 pontos) Demonstre usando a definição varepsilon e de<a de limite:
20.0 Limite de f(x)=4 x-5 em x=3 é igual a 7.

Passo 1

Vamos provar que
limxto3f(x)=7
para f(x)=4x-5 usando a definição com varepsilon e de<a. Ou seja, dado varepsilon>0, queremos encontrar de<a>0 tal que, sempre que
0<|x-3|<de<a, tenha-se |f(x)-7|<varepsilon.

Passo 2

Calculemos a diferença entre f(x) e o valor de limite proposto:
|f(x)-7| =|4x-5-7| =|4x-12| =4,|x-3|,

Passo 3

Para garantir |f(x)-7|<varepsilon basta exigir
4,|x-3|<varepsilon Long<=ftrightarrow |x-3|<varepsilon4,
Portanto, escolhemos
de<a = varepsilon4.

Passo 4

Com essa escolha, sempre que 0<|x-3|<de<a temos
|f(x)-7| =4,|x-3| <4,de<a =4cdotvarepsilon4 =varepsilon,,
o que completa a prova pelo critério de varepsilon de<a.

Resposta

limxto3(4x-5)=7.

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