Questão 5. Resolva as equações de EULER.
t^2 y^prime prime-2 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Euler
t^2y''-2y=0
que é uma EDO de coeficientes não constantes do tipo de Cauchy–Euler. Para resolver, vamos usar o ansatz clássico y=t^m, que transforma a EDO numa equação algébrica em m.

Passo 2

Assumindo
y = t^m,
temos
y' = m,t^m-1,
y'' = m(m-1),t^m-2
Substituindo na equação original:
t^2l[m(m-1),t^m-2r]-2,t^m=0
l[m(m-1)-2r],t^m=0
Como t^mneq0 para t>0, obtemos a equação característica
m(m-1)-2=0

Passo 3

Resolvendo
m^2-m-2=0
usamos a fórmula de Bhaskara:
m=1pmraiz1+82=1pm32,
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m1=2, m2=-1

Passo 4

Como são raízes distintas, a solução geral da EDO de Euler é
onde e ãá

Resposta

y(t)=C1,t^2+C2,t^-1

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