Encontre a solução geral de cada equação a seguir:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
Para resolver esse tipo de equação, vamos separar em duas etapas: primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada, e depois achamos uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
A equação homogênea é
Associamos a ela a equação característica
Calculando o discriminante:
Logo as raízes são complexas:
Isso nos dá a solução homogênea
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Para a parte não homogênea, temos o termo constante
e o termo exponencial
. Tentamos uma solução particular da forma
Então
Substituindo em
:
Queremos isso igual a
, então igualamos coeficientes:
Logo
Passo 4
A solução geral é a soma da homogênea com a particular: