Encontre a solução geral de cada equação a seguir:
2 y^prime prime+y^prime+y=1-2 e^t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
2y'' + y' + y = 1 - 2e^t
Para resolver esse tipo de equação, vamos separar em duas etapas: primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada, e depois achamos uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

A equação homogênea é
2y'' + y' + y = 0
Associamos a ela a equação característica
2r^2 + r + 1 = 0
Calculando o discriminante:
De<a = 1^2 - 4cdot2cdot1 = 1 - 8 = -7
Logo as raízes são complexas:
r = -1 pm iraiz74
Isso nos dá a solução homogênea
yh(t) = e^-t/4(C1cosl(tfracraiz74tr) + C2sinl(tfracraiz74tr)),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Para a parte não homogênea, temos o termo constante 1 e o termo exponencial -2e^t. Tentamos uma solução particular da forma
yp(t) = A + B e^t
Então
yp'(t) = B e^t, yp''(t) = B e^t
Substituindo em 2y''+y'+y:
2(B e^t) + (B e^t) + l(A + B e^tr) = A + 4B,e^t
Queremos isso igual a 1 - 2e^t, então igualamos coeficientes:
A = 1, 4B = -2 ;Longrightarrow; B = -tfrac12
Logo
yp(t) = 1 - tfrac12e^t

Passo 4

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = e^-t/4(C1cosl(tfracraiz74tr) + C2sinl(tfracraiz74tr)) + 1 - tfrac12e^t

Resposta

y(t) = e^-t/4(C1cosl(tfracraiz74tr)+C2sinl(tfracraiz74tr))+1-tfrac12e^t

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