Encontre a solução geral de cada equação a seguir:
2 y^prime prime+y^prime+y=2 t-3 e^-t

Passo 1

Temos a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
2y''+y'+y=2t-3e^-t
O conteúdo aqui é a soma da solução geral da homogênea e de uma particular, usando o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Para a parte homogênea resolvemos a equação característica associada:
As raízes são
Logo a solução complementar é

Passo 3

Para o termo polinomial 2t fazemos yp1=at+b. Calculando
yp1'=a, yp1''=0
e substituindo em 2y''+y'+y
2cdot0 + a + (at+b) = a,t + (a+b)overset!=2t
Igualando coeficientes: a=2 e a+b=0Rightarrow b=-2.
Logo
yp1(t)=2t-2

Passo 4

Para o termo exponencial -3e^-t tentamos yp2=Ce^-t. Então
yp2'=-C e^-t, yp2''=C e^-t
e
2yp2''+yp2'+yp2=(2C - C + C)e^-t=2C,e^-toverset!=-3e^-t
Logo 2C=-3Rightarrow C=-tfrac32 e
yp2(t)=-tfrac32e^-t

Passo 5

A solução geral é a soma da homogênea com as duas particulares.

Resposta

y(t)=e^-t/4l(C1cosraiz7,t4+C2sinraiz7,t4r) +2t-2-tfrac32e^-t

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