Questão 8. Resolva as equações lineares e homogêneas de segunda ordem abaixo:
t^2 y^prime prime+3 t y^prime+5 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem
t^2y'' + 3t,y' + 5y = 0
que é do tipo Euler–Cauchy. Para isso, vamos buscar soluções da forma
y = t^m .

Passo 2

Para y = t^m calculamos
y' = m,t^m-1,
y'' = m(m-1),t^m-2
Substituindo na equação original:
t^2l[m(m-1)t^m-2r] + 3tl[m,t^m-1r] + 5,t^m = 0
Longrightarrow ; m(m-1)t^m + 3m,t^m + 5,t^m = 0 ;Longrightarrow; l[m(m-1)+3m+5r]t^m = 0
Como t^mneq0 para t>0, obtemos a equação característica.

Passo 3

A equação característica é
m(m-1) + 3m + 5 = 0 ;Longrightarrow; m^2 + 2m + 5 = 0
Resolvendo,
m = -2 pm raiz4 - 202 = -1 pm 2i

Passo 4

Como as raízes são complexas conjugadas alpha = -1 e beta = 2, a solução geral da Euler–Cauchy é
y(t) = t^alphal(C1cos(beta ln t)+C2sin(beta ln t)r)
Substituindo alpha e beta obtemos a forma final.

Resposta

y(t) = t^-1l(C1cos(2ln t) + C2sin(2ln t)r)

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