Se z=raizx sen(y / x) é verdade que x partial zpartial x+y partial zpartial y=z2 ?

Passo 1

O enunciado define
z(x,y)=raizx,sen!l(tfracyxr)
e pergunta se vale
x,partial zpartial x+y,partial zpartial y=z2
O conteúdo aqui são derivadas parciais, aplicando a regra do produto e a regra da cadeia, e depois somando os termos.

Passo 2

Vamos calcular partial zpartial x. Como
z=x^1/2,sin!l(ur), u=yx,
temos duas contribuições: derivada de x^1/2 e derivada de sin(u) via ux. Logo,
partial zpartial x =12x^-1/2sin!l(tfracyxr) +x^1/2cos!l(tfracyxr)cdotl(-yx^2r)
Simplificando,
partial zpartial x =12raizxsin!l(tfracyxr) -yx^3/2cos!l(tfracyxr)

Passo 3

Multiplicamos por x:
x,partial zpartial x =xl(12raizxsin!tfracyx -yx^3/2cos!tfracyxr) =raizx2sin!l(tfracyxr) -yraizxcos!l(tfracyxr)

Passo 4

Agora partial zpartial y. Só vem da parte sin(y/x) via uy=1/x:
partial zpartial y =raizx,cos!l(tfracyxr)cdot1x =1raizxcos!l(tfracyxr)
Multiplicando por y:
y,partial zpartial y =yraizxcos!l(tfracyxr)

Passo 5

Somando os dois resultados,
x,partial zpartial x+y,partial zpartial y =raizx2sin!l(tfracyxr) -yraizxcos!l(tfracyxr) +yraizxcos!l(tfracyxr) =raizx2sin!l(tfracyxr)
Como z=raizx,sin!l(tfracyxr), concluímos que
x,partial zpartial x+y,partial zpartial y =z2

Resposta

Sim, a igualdade é verdadeira.

Exercícios relacionados