Encontre os quatro primeiros termos não nulos da série de potências em torno de
da solução geral da equação diferencial.
-\left(1+x^{2}\right) y^{\prime \prime}-x y{\prime}+y=e{-x}
-\left(1+x^{2}\right) y^{\prime \prime}-x y{\prime}+y=e{-x}
Passo 1
O enunciado pede os quatro primeiros termos não nulos da expansão em série de potências, em torno de
, da solução geral da EDO
O método é assumir
substituir na EDO, obter uma relação de recorrência para os coeficientes
e calcular os primeiros
em função de
e
, que serão as constantes da solução geral.
Passo 2
Multiplicando a equação original por
e reorganizando, fica
Substituindo
encontra-se para o coeficiente de
a recorrência
ou seja
Passo 3
Usando
e
na recorrência obtemos
para :
para
para
:
Passo 4
Os primeiros coeficientes da solução geral são então
Logo, os quatro primeiros termos não nulos da série são
onde
e
são as duas constantes da solução geral.