Encontre os quatro primeiros termos não nulos da série de potências em torno de x=c da solução geral da equação diferencial.
-\left(1+x^{2}\right) y^{\prime \prime}-x y{\prime}+y=e{-x}

Passo 1

O enunciado pede os quatro primeiros termos não nulos da expansão em série de potências, em torno de x=0, da solução geral da EDO
-(1+x^2)y''-x,y'+y=e^-x
O método é assumir
y(x)=sumn=0^inftyanx^n,
substituir na EDO, obter uma relação de recorrência para os coeficientes an e calcular os primeiros an em função de a0 e a1, que serão as constantes da solução geral.

Passo 2

Multiplicando a equação original por -1 e reorganizando, fica
(1+x^2)y''+x,y'-y=-e^-x=-sumn=0^infty(-1)^nn!x^n
Substituindo
y=sumn=0^infty anx^n, y'=sumn=1^infty n,anx^n-1, y''=sumn=2^infty n(n-1)anx^n-2,
encontra-se para o coeficiente de x^n a recorrência
(n+2)(n+1)an+2+(n^2-1)an=-(-1)^nn!,
ou seja
an+2 =-(-1)^n/n! ;-;(n^2-1)an(n+2)(n+1)

Passo 3

Usando n=0 e n=1 na recorrência obtemos
para n=0:
2cdot1,a2+(-1)a0=-1 Longrightarrow a2=a0-12,
para n=1:
3cdot2,a3+(1^2-1)a1=1 Longrightarrow a3=16

Passo 4

Os primeiros coeficientes da solução geral são então
a0(livre), a1(livre), a2=a0-12, a3=16
Logo, os quatro primeiros termos não nulos da série são
y(x)=a0 + a1,x + a0-12,x^2 + 16,x^3 + O(x^4),
onde a0 e a1 são as duas constantes da solução geral.

Resposta

boxed y(x)=a0 ;+; a1,x ;+;a0-12,x^2;+;16,x^3;+;O(x^4)

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