Questão 5: Resolva as inequações:
x^2-7 x+10x^3-8 x^2+17 x-10 >= 1

Passo 1

A inequação dada é x^2-7x+10x^3-8x^2+17x-10 >= 1. É uma inequação racional, e vamos precisar fatorar numerador e denominador, cancelar fatores comuns (observando as restrições de domínio) e depois estudar o sinal do quociente resultante usando um quadro de sinais.

Passo 2

Primeiro, fatoramos numerador e denominador. O numerador é x^2 - 7x + 10 = (x-5)(x-2). O denominador é x^3 - 8x^2 + 17x - 10; testando raiz x=1 vemos que ele se anula, e dividindo por x-1 obtemos
x^3 -8x^2+17x-10 = (x-1)(x^2-7x+10) = (x-1)(x-5)(x-2)

Passo 3

Podemos então escrever
x^2-7x+10x^3-8x^2+17x-10 = (x-5)(x-2)(x-1)(x-5)(x-2),desde que xneq1,2,5 (para não anularmos o denominador). Cancelando os fatores x-5 e x-2, obtemos para xneq1,2,5:
x^2-7x+10x^3-8x^2+17x-10 = 1x-1

Passo 4

A inequação original fica então
1x-1 >= 1,com domínio xneq1,2,5. Passamos tudo para um único quociente:
1x-1 - 1 >= 0 Longrightarrow 1 - (x-1)x-1 >= 0 Longrightarrow 2 - xx-1 >= 0

Passo 5

Para resolver 2-xx-1 >= 0, analisamos os zeros e polos: o numerador anula em x=2 e o denominador em x=1. Montamos o quadro de sinais nos intervalos ( -infty,1), (1,2), (2, +infty):
  • Em x<1: numerador 2-x>0, denominador x-1<0 ⇒ quociente <0.
  • Em 1: numerador 2-x>0, denominador x-1>0 ⇒ quociente >0.
  • Em x>2: numerador 2-x<0, denominador x-1>0 ⇒ quociente <0.

Passo 6

Queremos onde o quociente é >=0. Isso ocorre apenas em (1,2], mas lembrando que x=2 e x=1 estão fora do domínio original. Portanto restam só os valores de x no intervalo
(1,2).

Resposta

(1,2)

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