Questão 5: Resolva as inequações:
x^2-7 x+10x^3-8 x^2+17 x-10 <=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
x^2-7x+10x^3-8x^2+17x-10 <= -1
Isso envolve: fatorar polinômios, identificar domínio, simplificar a expressão quando possível e depois fazer análise de sinais de uma função racional para achar onde ela é ≤0.

Passo 2

Vamos fatorar numerador e denominador. No numerador temos
x^2-7x+10=(x-2)(x-5)
No denominador notamos que para x=1 vale zero, e dividindo por (x-1) obtemos
x^3-8x^2+17x-10=(x-1)(x^2-7x+10)=(x-1)(x-2)(x-5)

Passo 3

Como há fatores comuns (x-2)(x-5) em numerador e denominador podemos simplificar, lembrando que isso cria “buracos” no domínio em x=2 e x=5. Assim para xneq1,2,5 temos
x^2-7x+10x^3-8x^2+17x-10=(x-2)(x-5)(x-1)(x-2)(x-5)=1x-1

Passo 4

Reescrevendo a inequação original fica
1x-1<= -1
Passamos tudo para um único quociente:
1x-1+1<=0
1+(x-1)x-1<=0impliesxx-1<=0

Passo 5

Agora fazemos análise de sinais da função g(x)=x/(x-1). Os pontos críticos são
– zero do numerador: x=0 (aqui g=0);
– zero do denominador: x=1, excluído do domínio.
Montando a tabela de sinais em cada intervalo:
intervalo sinal de x sinal de x-1 g(x)
(-\infty,0) (–) (–) (+)
(0,1) (+) (–) (–)
(1,+\infty) (+) (+) (+)
Queremos g(x)<=0, ou seja negativo ou zero. Isso ocorre em x=0 e em 0.

Passo 6

Não esqueça das exclusões do domínio: x=1,2,5 não entram. Dessarte a solução final é
xin[0,1)

Resposta

[0,1)

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