Questão 1: Resolva as integrais das funções elementares a seguir.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função dada. Mais precisamente, temos que encontrar uma primitiva (antiderivada) de
Informações fornecidas:
- A função a integrar é a soma de três termos:
, e . - Queremos a integral indefinida (ou seja, a família de primitividades) — então devemos incluir a constante de integração
.
Passo 2
Fórmulas e propriedades que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Linearidade da integral: a integral de uma soma é a soma das integrais, e constantes podem sair da integral. Ou seja,
e
onde
é constante. Isso permite integrar termo a termo.
2) Regra da potência (para polinômios): se ,
2) Regra da potência (para polinômios): se
Aqui
é um número (expoente). Por exemplo,
e
.
3) Integração de constante: se é constante,
3) Integração de constante: se
Vou aplicar essas regras termo a termo no próximo passo.
Passo 3
Aplicando a linearidade, escrevemos a integral como soma de integrais simples:
Agora calculamos cada uma separadamente.
Passo 4
Integrando o primeiro termo, que é uma constante:
Explicação rápida: pela regra da integral de constante, multiplicamos a constante por
.
Passo 5
Integrando o segundo termo, que é
:
Usamos a propriedade que fator constante sai da integral:
Usamos a propriedade que fator constante sai da integral:
Agora aplicamos a regra da potência com
:
logo
Passo 6
Integrando o terceiro termo, que é
:
Aplicando a regra da potência com ,
Aplicando a regra da potência com
Passo 7
Somando os resultados parciais e incluindo a constante de integração
, obtemos a primitiva:
Verificação rápida (opcional, mas útil na prova): derivando essa expressão deve voltar ao integrando. Derivada de
é
, de
é
e de
é
; somando dá
, que é a função original — então está correta.