Questão 2: Resolva os itens abaixo.
Determine uma matriz A tal que os autovetores associados ao autovalor 6 sejam da forma ( 3 x, 0,4 x, 0 ) e (0,4 y, 0,3 y) e os autovetores associados ao autovalor - 1 sejam da forma (0,0,0, x) e (0,0,-y, 0). A é diagonalizável?

Passo 1

O enunciado pede uma matriz A\in\mathbb{R}^{4\times4} cujos autovalores e autovetores são:
– Autovalor \;6; com autovetores na direção de \;(3,0,4,0) e \;(0,4,0,3).
– Autovalor -1; com autovetores na direção de \;(0,0,1,0) e \;(0,0,0,1).
Vamos usar a teoria de diagonalização: se coletarmos quatro autovetores linearmente independentes numa matriz P e montarmos a diagonal D de autovalores, então
A = P\,D\,P^{-1}
é a matriz procurada e, por ter base de autovetores, é diagonalizável.

Passo 2

Escolhemos como colunas de P os quatro vetores próprios independentes:
u_1 = \begin{pmatrix}3\\\ 0\\\ 4\\\ 0\end{pmatrix},\; u_2 = \begin{pmatrix}0\\\ 4\\\ 0\\\ 3\end{pmatrix},\; u_3 = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\; u_4 = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Então
P = \bigl[u_1\;u_2\;u_3\;u_4\bigr] = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 4 & 0 & 0\\\\ 4 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}
e a matriz diagonal de autovalores é
D = \mathrm{diag}(6,6,-1,-1).

Passo 3

Pela fatoração de diagonalização, definimos
A = P\,D\,P^{-1}.
Isto garante que \;A\,u_1=6\,u_1,\;A\,u_2=6\,u_2,\;A\,u_3=-1\,u_3,\;A\,u_4=-1\,u_4.

Passo 4

Como exibimos quatro autovetores linearmente independentes que geram \mathbb{R}^4, concluímos que A é diagonalizável.

Resposta

Usando
P = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 4 & 0 & 0\\\\ 4 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad D = \mathrm{diag}(6,6,-1,-1),
temos
A = P\,D\,P^{-1},
que satisfaz exatamente os autovalores e autovetores dados. Além disso, A é diagonalizável.

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