Questão 2: Resolva os itens abaixo.
Determine uma matriz A tal que os autovetores associados ao autovalor 6 sejam da forma ( 3 x, 0,4 x, 0 ) e (0,4 y, 0,3 y) e os autovetores associados ao autovalor - 1 sejam da forma (0,0,0, x) e (0,0,-y, 0). A é diagonalizável?
Passo 1
O enunciado pede uma matriz A\in\mathbb{R}^{4\times4} cujos autovalores e autovetores são:
– Autovalor \;6; com autovetores na direção de \;(3,0,4,0) e \;(0,4,0,3).
– Autovalor -1; com autovetores na direção de \;(0,0,1,0) e \;(0,0,0,1).
Vamos usar a teoria de diagonalização: se coletarmos quatro autovetores linearmente independentes numa matriz P e montarmos a diagonal D de autovalores, então
A = P\,D\,P^{-1}
é a matriz procurada e, por ter base de autovetores, é diagonalizável.
Passo 2
Escolhemos como colunas de P os quatro vetores próprios independentes: