Questão 2: Resolva os itens abaixo.
Se \left\{U_{1}, U_{2}, U_{3}\right\} é uma base ortonormal de \mathbb{R}^{3}, então qualquer X \in \mathbb{R}^{3} pode ser escrito como
X=\left(X \cdot U_{1}\right) U_{1}+\left(X \cdot U_{2}\right) U_{2}+\left(X \cdot U_{3}\right) U_{3} .
Com base nessa informação verifique que os vetores U_{1}=\left(\frac{4}{5}, 0, \frac{3}{5}\right), U_{2}=\left(-\frac{3}{5}, 0, \frac{4}{5}\right) e U_{3}=(0,1,0) fornecem uma base ortornormal para \mathbb{R}^{3} e utilize a fórmula acima para escrever X=(4,1,-5) como combinação linear de U_{1}, U_{2} e U_{3}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) mostrar que U_{1}=(\tfrac{4}{5},0,\tfrac{3}{5}), U_{2}=(-\tfrac{3}{5},0,\tfrac{4}{5}) e U_{3}=(0,1,0) formam uma base ortonormal de \mathbb{R}^{3}, e (ii) usar a fórmula
X=(X\cdot U_{1})\,U_{1}+(X\cdot U_{2})\,U_{2}+(X\cdot U_{3})\,U_{3}
para decompor X=(4,1,-5).

Passo 2

Para serem ortonormais, cada U_{i} deve ter norma 1. Calculamos \|U_{1}\|=\sqrt{\bigl(\tfrac{4}{5}\bigr)^{2}+0^{2}+\bigl(\tfrac{3}{5}\bigr)^{2}} =\sqrt{\tfrac{16}{25}+\tfrac{9}{25}}=1, \|U_{2}\|=\sqrt{\tfrac{9}{25}+\tfrac{16}{25}}=1 e \|U_{3}\|=\sqrt{0+1+0}=1.

Passo 3

Agora vemos se são mutuamente ortogonais, ou seja, produto interno zero: U_{1}\cdot U_{2}=\tfrac{4}{5}\cdot(-\tfrac{3}{5})+0+ \tfrac{3}{5}\cdot\tfrac{4}{5} =-\tfrac{12}{25}+\tfrac{12}{25}=0, U_{1}\cdot U_{3}=0 e U_{2}\cdot U_{3}=0.
Logo \{U_{1},U_{2},U_{3}\} é uma base ortonormal de \mathbb{R}^{3}.

Passo 4

Agora calculamos os coeficientes da decomposição X\cdot U_{i}:
X\cdot U_{1} =4\cdot\tfrac{4}{5}+1\cdot0+(-5)\cdot\tfrac{3}{5} =\tfrac{16}{5}-\tfrac{15}{5} =\tfrac{1}{5},
X\cdot U_{2} =4\cdot\bigl(-\tfrac{3}{5}\bigr)+1\cdot0+(-5)\cdot\tfrac{4}{5} =-\tfrac{12}{5}-\tfrac{20}{5} =-\tfrac{32}{5},
X\cdot U_{3} =4\cdot0+1\cdot1+(-5)\cdot0 =1.

Passo 5

Substituindo na fórmula, obtemos
X =\tfrac{1}{5}\,U_{1} -\tfrac{32}{5}\,U_{2} +1\cdot U_{3}.

Resposta

X = \displaystyle \frac{1}{5}U_{1} - \frac{32}{5}U_{2} + U_{3}.

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