Questão 2: Resolva os itens abaixo.
A matriz abaixo é diagonalizável?
A=\left[\begin{array}{lll} 6 & 6 & 6 \\\\ 6 & 6 & 6 \\\\ 6 & 6 & 6 \end{array}\right]
Obtenha, se possível, uma base ortonormal de \mathbb{R}^{3} formada por autovetores de A.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A=\begin{pmatrix} 6 & 6 & 6\\\\ 6 & 6 & 6\\\\ 6 & 6 & 6 \end{pmatrix}
é diagonalizável e, em caso afirmativo, encontrar uma base ortonormal de \mathbb{R}^3 formada por autovetores de A. O conteúdo utilizado será cálculo de autovalores e autovetores de matrizes simétricas (teorema espectral).

Passo 2

Para obter os autovalores, note que A=6J, onde J é a matriz cujos elementos são todos 1. Sabemos que J tem posto 1, logo um autovalor não nulo e dois zeros, e \mathrm{tr}(A)=18. Portanto os autovalores de A são
\lambda_1=18 \quad\text{(multiplicidade 1)}, \qquad \lambda_2=0,\;\lambda_3=0 \quad\text{(multiplicidade 2)}.

Passo 3

O autovalor \lambda_1=18 tem como autovetor qualquer múltiplo de (1,1,1). Normalizando, escolhemos
e_1=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1).

Passo 4

O autovalor \lambda=0 corresponde ao núcleo de A, i.e.\ ao subespaço ortogonal a (1,1,1). Podemos escolher vetores independentes nesse núcleo, por exemplo
v_2=(1,-1,0), \quad v_3=(1,1,-2).
Aplicando ortonormalização (ou verificando diretamente), obtemos
e_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0), \qquad e_3=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2),
que satisfazem \langle e_i,e_j\rangle=0 para i\neq j e \|e_i\|=1.

Passo 5

Como A é simétrica e encontramos três autovetores ortonormais, concluímos que A é diagonalizável (ortogonalmente diagonalizável) e que \{e_1,e_2,e_3\} forma uma base ortonormal de \mathbb{R}^3 de autovetores de A.

Resposta

Sim. Uma base ortonormal de autovetores de A é
\left\{ \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1), \;\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0), \;\frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2) \right\}.

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