Questão 2: Resolva os itens abaixo.
Seja
é paralelo ao plano
. Prove que
é subespaço de
e exiba uma base para W.
Seja
Passo 1
O enunciado define
.
Queremos mostrar que é subespaço de
e encontrar uma base para
.
Para isso usaremos o critério de subespaço (contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar) e o fato de que um vetor é paralelo a um plano se for ortogonal ao vetor normal desse plano.
Queremos mostrar que
Para isso usaremos o critério de subespaço (contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar) e o fato de que um vetor é paralelo a um plano se for ortogonal ao vetor normal desse plano.
Passo 2
A equação do plano
pode ser escrita como
logo um vetor normal a
é
Um vetor genérico
é paralelo a
se e somente se
ou seja
Portanto
Passo 3
Verificamos as três condições de subespaço:
- O vetor zero
satisfaz , logo está em . - Se
e estão em , então e . Assim
logo
.
3. Se e
, então
3. Se
e como
segue
, logo
.
Assim
é subespaço de
.
Passo 4
Para achar uma base de
, escrevemos
onde
e
são parâmetros livres em
.
Logo dois vetores independentes que geram são
Logo dois vetores independentes que geram
Resposta
Uma base para
é