Questão 2: Resolva os itens abaixo.
Seja \mathbb{W}=\left\{U \in \mathbb{R}^{3}: U\right. é paralelo ao plano \left.\Pi: y-5=z\right\}. Prove que \mathbb{W} é subespaço de \mathbb{R}^{3} e exiba uma base para W.

Passo 1

O enunciado define \mathbb{W}=\{\,U\in\mathbb{R}^3 : U\text{ é paralelo ao plano }\Pi:y-5=z\}é.
Queremos mostrar que \mathbb{W} é subespaço de \mathbb{R}^3 e encontrar uma base para \mathbb{W}.
Para isso usaremos o critério de subespaço (contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar) e o fato de que um vetor é paralelo a um plano se for ortogonal ao vetor normal desse plano.

Passo 2

A equação do plano \Pi pode ser escrita como
y - z - 5 = 0,
logo um vetor normal a \Pi é
n = (0,1,-1).
Um vetor genérico U=(u_1,u_2,u_3) é paralelo a \Pi se e somente se
U\cdot n = 0\quad\Longleftrightarrow\quad 0\cdot u_1 + 1\cdot u_2 + (-1)\cdot u_3 = 0
ou seja
u_2 - u_3 = 0.
Portanto
\mathbb{W}=\{(u_1,u_2,u_3)\in\mathbb{R}^3 : u_2 = u_3\}.

Passo 3

Verificamos as três condições de subespaço:
  1. O vetor zero (0,0,0) satisfaz 0=0, logo está em \mathbb{W}.
  2. Se U=(u_1,u_2,u_3) e V=(v_1,v_2,v_3) estão em \mathbb{W}, então u_2=u_3 e v_2=v_3. Assim
(U+V)_2 = u_2+v_2 = u_3+v_3 = (U+V)_3,
logo U+V\in\mathbb{W}.
3. Se U=(u_1,u_2,u_3)\in\mathbb{W} e \lambda\in\mathbb{R}, então
(\lambda U)_2 = \lambda u_2,\quad (\lambda U)_3 = \lambda u_3
e como u_2=u_3 segue (\lambda U)_2=(\lambda U)_3, logo \lambda U\in\mathbb{W}.
Assim \mathbb{W} é subespaço de \mathbb{R}^3.

Passo 4

Para achar uma base de \mathbb{W}, escrevemos
(u_1,u_2,u_3)=(u_1,t,t)=u_1\,(1,0,0)+t\,(0,1,1),
onde u_1 e t=u_2 são parâmetros livres em \mathbb{R}.
Logo dois vetores independentes que geram \mathbb{W} são
(1,0,0)\quad\text{e}\quad(0,1,1).

Resposta

Uma base para \mathbb{W} é
\{(1,0,0),\,(0,1,1)\}.

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