Questão 2: Resolva numericamente até
a seguinte equação diferencial:
Passo 1
O enunciado pede que eu resolva numericamente, até
, a equação diferencial com condição inicial
usando passo
.
As informações relevantes que temos são:
As informações relevantes que temos são:
- A equação diferencial no formato
com . - Condição inicial
. - passo de integração
. - intervalo de integração de
até , o que dá passos.
Passo 2
Escolha do método e fórmula: vou usar o método de Euler explícito (método mais básico, adequado para entender o procedimento passo a passo). Justificativa: o enunciado não exige um método específico e, seguindo a ordem didática, começamos pelo método mais elementar.
Explicação do método de Euler explícito: para uma EDO escrita como
Explicação do método de Euler explícito: para uma EDO escrita como
com malha
e passo
, a aproximação de Euler é
Aqui:
-
é o instante atual; -
é a aproximação de ; -
é a derivada aproximada em ; -
é o passo (distância entre pontos em ).
No nosso caso temos
portanto a iteração de Euler fica
Passo 3
Montagem da malha e condição inicial:
-
. -
. Então , assim: - Condição inicial:
.
Agora aplico a fórmula iterativa para cada passo (vou mostrar os cálculos explícitos).
Passo 4
Passo
:
Passo 5
Passo
:
Passo 6
Passo
:
Passo 7
Passo
:
Passo 8
Passo
:
Passo 9
Verificação e comentário sobre erro (aula rápida): é útil conhecer a solução exata para avaliar o erro do método. Para resolver analiticamente a EDO linear, uso fator integrante.
Começo escrevendo
Fator integrante
. Multiplicando a equação por
obtemos
Integro ambos os lados:
Fazendo integração por partes (ou usando tabela) chega-se a
Logo
e isolando
:
Usando
obtemos
, ou seja
. Assim a solução exata é
Avalio em
:
Comparando com a aproximação de Euler
, o erro em
é aproximadamente
Comentário didático final: o método de Euler explícito tem erro global da ordem
, ou seja o erro tende a zero linearmente com
. Se precisar de precisão maior use métodos de ordem superior (por exemplo Heun/Runge–Kutta de 2ª ordem ou RK4).