Questão 2: Resolva numericamente até \mathrm{t}=0.5 a seguinte equação diferencial:
\frac{d y}{d t}+3 y=t, \quad y(0)=0, \quad h=0.1

Passo 1

O enunciado pede que eu resolva numericamente, até \,t=0,5\,, a equação diferencial com condição inicial
\frac{dy}{dt}+3y = t,\qquad y(0)=0,
usando passo h=0,1.
As informações relevantes que temos são:
  • A equação diferencial no formato \dfrac{dy}{dt}=f(t,y) com f(t,y)=t-3y.
  • Condição inicial y(0)=0.
  • passo de integração h=0,1.
  • intervalo de integração de t=0 até t=0,5, o que dá N=\dfrac{0,5-0}{0,1}=5 passos.

Passo 2

Escolha do método e fórmula: vou usar o método de Euler explícito (método mais básico, adequado para entender o procedimento passo a passo). Justificativa: o enunciado não exige um método específico e, seguindo a ordem didática, começamos pelo método mais elementar.
Explicação do método de Euler explícito: para uma EDO escrita como
\frac{dy}{dt}=f(t,y),
com malha \{t_n\} e passo h, a aproximação de Euler é
y_{n+1}=y_n + h\,f(t_n,y_n).
Aqui:
  • t_n é o instante atual;
  • y_n é a aproximação de y(t_n);
  • f(t_n,y_n) é a derivada aproximada em (t_n,y_n);
  • h é o passo (distância entre pontos em t).
No nosso caso temos
f(t,y)=t-3y,
portanto a iteração de Euler fica
y_{n+1}=y_n + h\bigl(t_n-3y_n\bigr).

Passo 3

Montagem da malha e condição inicial:
  • h=0,1.
  • t_0=0. Então t_n = t_0 + n h, assim: t_0=0,\quad t_1=0,1,\quad t_2=0,2,\quad t_3=0,3,\quad t_4=0,4,\quad t_5=0,5.
  • Condição inicial: y_0=0.
Agora aplico a fórmula iterativa para cada passo (vou mostrar os cálculos explícitos).

Passo 4

Passo n=0 \to 1:
f(t_0,y_0)=t_0-3y_0=0-3\cdot 0=0,
y_1 = y_0 + h\,f(t_0,y_0)=0 + 0,1\cdot 0 = 0.

Passo 5

Passo n=1 \to 2:
f(t_1,y_1)=t_1-3y_1=0,1-3\cdot 0 = 0,1,
y_2 = y_1 + h\,f(t_1,y_1)=0 + 0,1\cdot 0,1 = 0,01.

Passo 6

Passo n=2 \to 3:
f(t_2,y_2)=t_2-3y_2=0,2-3\cdot 0,01 = 0,2-0,03 = 0,17,
y_3 = y_2 + h\,f(t_2,y_2)=0,01 + 0,1\cdot 0,17 = 0,01 + 0,017 = 0,027.

Passo 7

Passo n=3 \to 4:
f(t_3,y_3)=t_3-3y_3=0,3-3\cdot 0,027 = 0,3-0,081 = 0,219,
y_4 = y_3 + h\,f(t_3,y_3)=0,027 + 0,1\cdot 0,219 = 0,027 + 0,0219 = 0,0489.

Passo 8

Passo n=4 \to 5:
f(t_4,y_4)=t_4-3y_4=0,4-3\cdot 0,0489 = 0,4-0,1467 = 0,2533,
y_5 = y_4 + h\,f(t_4,y_4)=0,0489 + 0,1\cdot 0,2533 = 0,0489 + 0,02533 = 0,07423.

Passo 9

Verificação e comentário sobre erro (aula rápida): é útil conhecer a solução exata para avaliar o erro do método. Para resolver analiticamente a EDO linear, uso fator integrante.
Começo escrevendo
\frac{dy}{dt}+3y=t.
Fator integrante \mu(t)=e^{\int 3\,dt}=e^{3t}. Multiplicando a equação por \mu(t) obtemos
\frac{d}{dt}\bigl(e^{3t}y\bigr) = t e^{3t}.
Integro ambos os lados:
e^{3t}y = \int t e^{3t}\,dt.
Fazendo integração por partes (ou usando tabela) chega-se a
\int t e^{3t}\,dt = \frac{1}{3} t e^{3t} - \frac{1}{9} e^{3t} + C.
Logo
e^{3t}y = \frac{1}{3} t e^{3t} - \frac{1}{9} e^{3t} + C,
e isolando y:
y(t)=\frac{1}{3}t - \frac{1}{9} + C e^{-3t}.
Usando y(0)=0 obtemos 0 = 0 - \tfrac{1}{9} + C, ou seja C=\tfrac{1}{9}. Assim a solução exata é
y(t)=\frac{1}{3}t - \frac{1}{9} + \frac{1}{9}e^{-3t}.
Avalio em t=0,5:
e^{-3\cdot 0,5}=e^{-1,5}\approx 0,22313016,
y(0,5)=\frac{1}{3}\cdot 0,5 - \frac{1}{9} + \frac{1}{9}e^{-1,5} =0,16666667 - 0,11111111 + 0,11111111\cdot 0,22313016 \approx 0,0803478.
Comparando com a aproximação de Euler y_5\approx 0,07423, o erro em t=0,5 é aproximadamente
\text{erro}\approx 0,0803478-0,07423\approx 0,00612.
Comentário didático final: o método de Euler explícito tem erro global da ordem \mathcal{O}(h), ou seja o erro tende a zero linearmente com h. Se precisar de precisão maior use métodos de ordem superior (por exemplo Heun/Runge–Kutta de 2ª ordem ou RK4).

Resposta

t_0=0:\\ y_0=0
t_1=0,1:\\ y_1=0
t_2=0,2:\\ y_2=0,01
t_3=0,3:\\ y_3=0,027
t_4=0,4:\\ y_4=0,0489
t_5=0,5:\\ y_5=0,07423

Exercícios relacionados