Questão 1: Resolva:
(1,5 ponto)
.
(1,5 ponto)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e observações iniciais:
- A função integranda é
. - O integrando está indefinido em
(denominador nulo), então consideramos . - A finalidade é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função
tal que .
Não se faz nenhuma outra suposição além do enunciado.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão algébrica antes de integrar — isso costuma ser o jeito mais rápido em prova. A ideia é escrever o numerador em termos de
, porque o denominador é
. Note que
Substituindo na integranda:
Agora cada fração simplifica:
Portanto a integral se escreve como soma de duas integrais mais simples:
Passo 3
Vou explicar as regras de integração que vamos usar aqui, com calma e em linguagem simples.
- Regra para
:
- Para integrais do tipo
vale
porque a derivada de
é
. Aqui
, então
- Regra da potência para
quando :
- Se
, então . - No nosso caso
, portanto
Voltando a
:
Passo 4
Agora somamos as duas primitivas (podemos juntar as constantes em uma só). Das contas anteriores:
Somando:
onde
é a constante arbitrária de integração.
Passo 5
(Comentário rápido como reforço.) Alternativamente, poderia-se fazer a substituição
desde o início — daí
e a integral vira
que leva exatamente ao mesmo resultado
, e substituindo
recupera
. Ambas as vias são equivalentes; eu usei a decomposição porque é direta e rápida em prova.