Questão 1: Resolva:
(1,5 ponto) \int \frac{x-1}{(x-2)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x-1}{(x-2)^{2}}\,dx.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função integranda é \dfrac{x-1}{(x-2)^2}.
  • O integrando está indefinido em x=2 (denominador nulo), então consideramos x\neq2.
  • A finalidade é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{x-1}{(x-2)^2}.
    Não se faz nenhuma outra suposição além do enunciado.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão algébrica antes de integrar — isso costuma ser o jeito mais rápido em prova. A ideia é escrever o numerador em termos de x-2, porque o denominador é (x-2)^2. Note que
x-1=(x-2)+1.
Substituindo na integranda:
\frac{x-1}{(x-2)^2}=\frac{(x-2)+1}{(x-2)^2}=\frac{x-2}{(x-2)^2}+\frac{1}{(x-2)^2}.
Agora cada fração simplifica:
\frac{x-2}{(x-2)^2}=\frac{1}{x-2}, \qquad \frac{1}{(x-2)^2}=(x-2)^{-2}.
Portanto a integral se escreve como soma de duas integrais mais simples:
\int \frac{x-1}{(x-2)^{2}}\,dx=\int \frac{1}{x-2}\,dx+\int (x-2)^{-2}\,dx.

Passo 3

Vou explicar as regras de integração que vamos usar aqui, com calma e em linguagem simples.
  1. Regra para \int \dfrac{1}{x-2}\,dx:
  • Para integrais do tipo \int \dfrac{1}{x-a}\,dx vale
\int \frac{1}{x-a}\,dx=\ln|x-a|+C,
porque a derivada de \ln|x-a| é \dfrac{1}{x-a}. Aqui a=2, então
\int \frac{1}{x-2}\,dx=\ln|x-2|+C_1.
  1. Regra da potência para \int (x-2)^{n}\,dx quando n\neq-1:
  • Se u=x-2, então \int u^{n}\,du=\dfrac{u^{n+1}}{n+1}+C.
  • No nosso caso n=-2, portanto
\int (x-2)^{-2}\,dx=\int u^{-2}\,du=\frac{u^{-1}}{-1}+C_2=-u^{-1}+C_2.
Voltando a x:
\int (x-2)^{-2}\,dx=-\frac{1}{x-2}+C_2.

Passo 4

Agora somamos as duas primitivas (podemos juntar as constantes em uma só). Das contas anteriores:
\int \frac{1}{x-2}\,dx=\ln|x-2|+C_1, \qquad \int (x-2)^{-2}\,dx=-\frac{1}{x-2}+C_2.
Somando:
\int \frac{x-1}{(x-2)^{2}}\,dx=\ln|x-2|-\frac{1}{x-2}+C,
onde C=C_1+C_2 é a constante arbitrária de integração.

Passo 5

(Comentário rápido como reforço.) Alternativamente, poderia-se fazer a substituição u=x-2 desde o início — daí du=dx e a integral vira
\int \frac{u+1}{u^{2}}\,du=\int\left(\frac{1}{u}+u^{-2}\right)\,du,
que leva exatamente ao mesmo resultado \ln|u|-u^{-1}+C, e substituindo u=x-2 recupera \ln|x-2|-\dfrac{1}{x-2}+C. Ambas as vias são equivalentes; eu usei a decomposição porque é direta e rápida em prova.

Resposta

\displaystyle \ln|x-2|-\frac{1}{x-2}+C

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