Questão 1: Resolva:
(1,5 ponto) \int \frac{x-1}{(x+1)(x+2)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida abaixo:
\int \frac{x-1}{(x+1)(x+2)}\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é a razão \dfrac{x-1}{(x+1)(x+2)}.
  • O denominador fatorou-se claramente como (x+1)(x+2).
    O que se pede:
  • Determinar uma primitiva (ou seja, calcular a integral indefinida) da expressão acima, incluindo a constante de integração.

Passo 2

Escolha do método (por que usar isso): como temos uma função racional cujo numerador tem grau menor que o denominador e o denominador é fatorável em fatores lineares distintos, o método mais direto é decompor em frações parciais. A ideia é escrever
\frac{x-1}{(x+1)(x+2)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+2},
onde A e B são constantes a determinar. Depois integrará cada termo separado, pois integrar \dfrac{1}{x+a} é direto.

Passo 3

Determinar A e B. Multiplicando ambos os lados por (x+1)(x+2) obtemos a identidade algébrica
x-1 = A(x+2)+B(x+1).
Agora podemos achar A e B escolhendo valores convenientes de x.
Para x=-1:
-1-1 = A(-1+2)+B\cdot 0 \quad\Rightarrow\quad -2 = A\cdot 1 \quad\Rightarrow\quad A=-2.
Para x=-2:
-2-1 = A\cdot 0 + B(-2+1) \quad\Rightarrow\quad -3 = B(-1) \quad\Rightarrow\quad B=3.
Logo a decomposição é
\frac{x-1}{(x+1)(x+2)}=\frac{-2}{x+1}+\frac{3}{x+2}.

Passo 4

Integrar termo a termo. Lembrete rápido da fórmula básica: para a constante vale
\int \frac{1}{x+a}\,dx=\ln\bigl|x+a\bigr|+C,
porque \dfrac{d}{dx}\ln|x+a|=\dfrac{1}{x+a}. Usando isso,
\int \frac{x-1}{(x+1)(x+2)}\,dx =\int\left(\frac{-2}{x+1}+\frac{3}{x+2}\right)dx =-2\int\frac{1}{x+1}dx+3\int\frac{1}{x+2}dx.
Aplicando a fórmula:
-2\int\frac{1}{x+1}dx=-2\ln\bigl|x+1\bigr|,\qquad 3\int\frac{1}{x+2}dx=3\ln\bigl|x+2\bigr|.

Passo 5

Juntando as partes e adicionando a constante de integração C:
\int \frac{x-1}{(x+1)(x+2)}\,dx =3\ln\bigl|x+2\bigr|-2\ln\bigl|x+1\bigr|+C.
Opcionalmente pode-se usar propriedades dos logaritmos para escrever de forma única:
3\ln\bigl|x+2\bigr|-2\ln\bigl|x+1\bigr| =\ln\!\left(\frac{(x+2)^3}{(x+1)^2}\right).
Ambas as formas estão corretas (a constante C absorve qualquer diferença).

Passo 6

Verificação rápida (para ganhar confiança): derivando a resposta obtida recupera-se a função integranda. De fato,
\frac{d}{dx}\bigl(3\ln|x+2|-2\ln|x+1|\bigr) =\frac{3}{x+2}-\frac{2}{x+1} =\frac{3(x+1)-2(x+2)}{(x+1)(x+2)} =\frac{x-1}{(x+1)(x+2)}.
A verificação bate, então a primitiva está correta.

Resposta

\;3\ln\bigl|x+2\bigr|-2\ln\bigl|x+1\bigr|+C

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