A solução do problema \left\{\begin{array}{l}u_{t}=2 u_{x x}, 0<x<1, t>0, \\\ u(0, t)=0, u(1, t)=0, t>0, \\\ u(x, 0)=x(1-x), 0 \leq x \leq 1\end{array}\right. é:
◯ a. u(x, t)=\frac{8}{\pi^{3}} \sum_{n \geq 1} \frac{e^{-\frac{(2 n-1)^{2} \pi^{2}}{2} t}}{(2 n-1)^{3}} \sin \frac{(2 n-1) \pi}{2} x
◯ b. \quad u(x, t)=\frac{8}{\pi^{3}} \sum_{n \geq 1} \frac{e^{-(2 n-1)^{2} \pi^{2} t}}{(2 n-1)^{3}} \sin (2 n-1) \pi x
◯ c. u(x, t)=\frac{8}{\pi^{3}} \sum_{n \geq 1} \frac{e^{-\frac{(2 n-1)^{2} \pi^{2}}{4} t}}{(2 n-1)^{3}} \sin \frac{(2 n-1) \pi}{2} x
◯ d. u(x, t)=\frac{8}{\pi^{3}} \sum_{n \geq 1} \frac{e^{-2(2 n-1)^{2} \pi^{2} t}}{(2 n-1)^{3}} \sin (2 n-1) \pi x
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial para a equação do calor com coeficiente de difusão 2\):
\[\begin{cases} u_{t}=2\,u_{x x}, &0<x<1,\\ t>0,\\[4pt] u(0,t)=0,\\ u(1,t)=0, &t>0,\\[4pt] u(x,0)=x(1-x), &0\le x\le1. \end{cases}
O que se pede é identificar qual das quatro expressões apresentadas corresponde à solução (u(x,t)] desse problema (uma única alternativa correta).]
Passo 2
Ideia geral do método (separation of variables + série de senos).
Para problemas com condições de contorno homogêneas tipo u(0,t)=u(1,t)=0, a solução costuma ser escrita como série nas funções próprias \sin(n\pi x).
Procura-se uma solução da forma separável u(x,t)=X(x)T(t). Substituindo em u_t=2u_{xx} obtemos:
X(x)\,T'(t)=2\,X''(x)\,T(t).
Dividindo por 2X(x)T(t) (assumindo X,T\not\equiv0) dá
\frac{T'(t)}{2T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda,
onde \lambda é uma constante de separação. Assim surgem duas equações ordinárias:
onde os coeficientes a_n são determinados pela condição inicial u(x,0)=x(1-x).
Passo 5
Fórmula para os coeficientes da série de senos.
Para a base ortogonal \{\sin(n\pi x)\}_{n\ge1}\) em \([0,1]\) vale
\[\int_0^1 \sin(n\pi x)\sin(m\pi x)\,dx=\begin{cases} 0,&n\ne m,\\[4pt] \tfrac{1}{2},&n=m. \end{cases}
Projetando a condição inicial f(x)=x(1-x)\] sobre \(\sin(n\pi x) obtemos