Questão 3

Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
A solução do problema \left\{\begin{array}{l}u_{t}=2 u_{x x}, 0<x<1, t>0, \\\ u(0, t)=0, u(1, t)=0, t>0, \\\ u(x, 0)=x(1-x), 0 \leq x \leq 1\end{array}\right. é:
◯ a. u(x, t)=\frac{8}{\pi^{3}} \sum_{n \geq 1} \frac{e^{-\frac{(2 n-1)^{2} \pi^{2}}{2} t}}{(2 n-1)^{3}} \sin \frac{(2 n-1) \pi}{2} x
◯ b. \quad u(x, t)=\frac{8}{\pi^{3}} \sum_{n \geq 1} \frac{e^{-(2 n-1)^{2} \pi^{2} t}}{(2 n-1)^{3}} \sin (2 n-1) \pi x
◯ c. u(x, t)=\frac{8}{\pi^{3}} \sum_{n \geq 1} \frac{e^{-\frac{(2 n-1)^{2} \pi^{2}}{4} t}}{(2 n-1)^{3}} \sin \frac{(2 n-1) \pi}{2} x
◯ d. u(x, t)=\frac{8}{\pi^{3}} \sum_{n \geq 1} \frac{e^{-2(2 n-1)^{2} \pi^{2} t}}{(2 n-1)^{3}} \sin (2 n-1) \pi x

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial para a equação do calor com coeficiente de difusão 2\): \[\begin{cases} u_{t}=2\,u_{x x}, &0<x<1,\\ t>0,\\[4pt] u(0,t)=0,\\ u(1,t)=0, &t>0,\\[4pt] u(x,0)=x(1-x), &0\le x\le1. \end{cases}
O que se pede é identificar qual das quatro expressões apresentadas corresponde à solução (u(x,t)] desse problema (uma única alternativa correta).]

Passo 2

Ideia geral do método (separation of variables + série de senos).
  • Para problemas com condições de contorno homogêneas tipo u(0,t)=u(1,t)=0, a solução costuma ser escrita como série nas funções próprias \sin(n\pi x).
  • Procura-se uma solução da forma separável u(x,t)=X(x)T(t). Substituindo em u_t=2u_{xx} obtemos:
X(x)\,T'(t)=2\,X''(x)\,T(t).
Dividindo por 2X(x)T(t) (assumindo X,T\not\equiv0) dá
\frac{T'(t)}{2T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda,
onde \lambda é uma constante de separação. Assim surgem duas equações ordinárias:
T'(t)=-2\lambda T(t), \qquad X''(x)+\lambda X(x)=0,
com as condições X(0)=0,\\ X(1)=0.

Passo 3

Resolver o problema de autovalores para X.
  • A equação X''+\lambda X=0 com X(0)=X(1)=0 tem soluções não-triviais somente para \lambda>0 e
\lambda_n=(n\pi)^2,\qquad n=1,2,3,\dots
  • As autofunções correspondentes são
X_n(x)=\sin(n\pi x).
(Explicação curta: as soluções gerais são combinações de \sin e \cos; impor X(0)=0 elimina o \cos e X(1)=0 força \sin(n\pi)=0, daí n\pi.)

Passo 4

Resolver a equação temporal T'(t)=-2\lambda_n T(t).
  • Para \lambda_n=(n\pi)^2 a solução é
T_n(t)=e^{-2\lambda_n t}=e^{-2(n\pi)^2 t}.
  • Logo cada modo separável é
u_n(x,t)=e^{-2(n\pi)^2 t}\sin(n\pi x).
A solução geral por superposição (série de Fourier em senos) é
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} a_n e^{-2(n\pi)^2 t}\sin(n\pi x),
onde os coeficientes a_n são determinados pela condição inicial u(x,0)=x(1-x).

Passo 5

Fórmula para os coeficientes da série de senos.
  • Para a base ortogonal \{\sin(n\pi x)\}_{n\ge1}\) em \([0,1]\) vale \[\int_0^1 \sin(n\pi x)\sin(m\pi x)\,dx=\begin{cases} 0,&n\ne m,\\[4pt] \tfrac{1}{2},&n=m. \end{cases}
  • Projetando a condição inicial f(x)=x(1-x)\] sobre \(\sin(n\pi x) obtemos
a_n=\frac{2}{1}\int_0^1 f(x)\sin(n\pi x)\,dx =2\int_0^1 x(1-x)\sin(n\pi x)\,dx.]

Passo 6

Calcular a integral I_n=\int_0^1 x(1-x)\sin(n\pi x)\,dx passo a passo.
  • Expande x(1-x)=x-x^2, então
I_n=\int_0^1 x\sin(n\pi x)\,dx-\int_0^1 x^2\sin(n\pi x)\,dx.
  1. Calcular \displaystyle \int_0^1 x\sin(n\pi x)\,dx.
Faz integração por partes com u=x,\\ dv=\sin(n\pi x)\,dx. Então du=dx e v=-\dfrac{\cos(n\pi x)}{n\pi}. Logo
\int_0^1 x\sin(n\pi x)\,dx =\Big[-\frac{x\cos(n\pi x)}{n\pi}\Big]_0^1+\frac{1}{n\pi}\int_0^1 \cos(n\pi x)\,dx.
A primeira parcela vale -\dfrac{\cos(n\pi)}{n\pi}. A integral de \cos \dfrac{\sin(n\pi)}{n\pi}=0. Assim
\int_0^1 x\sin(n\pi x)\,dx=-\frac{\cos(n\pi)}{n\pi}=-\frac{(-1)^n}{n\pi}.
Escrevendo de outra forma:
\int_0^1 x\sin(n\pi x)\,dx=\frac{(-1)^{n+1}}{n\pi}.
  1. Calcular \displaystyle \int_0^1 x^2\sin(n\pi x)\,dx.
Integração por partes com u=x^2,\\ dv=\sin(n\pi x)\,dx. Então du=2x\,dx e v=-\dfrac{\cos(n\pi x)}{n\pi}. Assim
\int_0^1 x^2\sin(n\pi x)\,dx =-\frac{\cos(n\pi)}{n\pi}+\frac{2}{n\pi}\int_0^1 x\cos(n\pi x)\,dx.
Agora calcula \int_0^1 x\cos(n\pi x)\,dx por partes com u=x,\\ dv=\cos(n\pi x)\,dx. Então v=\dfrac{\sin(n\pi x)}{n\pi} e
\int_0^1 x\cos(n\pi x)\,dx =\Big[\frac{x\sin(n\pi x)}{n\pi}\Big]_0^1-\frac{1}{n\pi}\int_0^1 \sin(n\pi x)\,dx.
A primeira parcela é zero porque \sin(n\pi)=0; a integral de \sin -\dfrac{\cos(n\pi)-\cos 0}{n\pi}=-\dfrac{(-1)^n-1}{n\pi}. Portanto
\int_0^1 x\cos(n\pi x)\,dx=-\frac{1}{n\pi}\Big(-\frac{(-1)^n-1}{n\pi}\Big) =\frac{(-1)^n-1}{n^2\pi^2}.
Substituindo de volta,
\int_0^1 x^2\sin(n\pi x)\,dx =-\frac{(-1)^n}{n\pi}+\frac{2}{n\pi}\cdot\frac{(-1)^n-1}{n^2\pi^2} =-\frac{(-1)^n}{n\pi}+\frac{2\big((-1)^n-1\big)}{n^3\pi^3}.
  1. Agora I_n= primeira integral menos segunda:
I_n=\frac{(-1)^{n+1}}{n\pi} -\Big(-\frac{(-1)^n}{n\pi}+\frac{2\big((-1)^n-1\big)}{n^3\pi^3}\Big).
Os termos em 1/(n\pi) se cancelam (verifique: (-1)^{n+1}+(-1)^n=0), restando
I_n=-\frac{2\big((-1)^n-1\big)}{n^3\pi^3} =\frac{2\big(1-(-1)^n\big)}{n^3\pi^3}.

Passo 7

Obter os coeficientes a_n e a série final.
  • Lembrando a_n=2I_n, obtemos
a_n=2\cdot\frac{2\big(1-(-1)^n\big)}{n^3\pi^3} =\frac{4\big(1-(-1)^n\big)}{n^3\pi^3}.
  • Note que se n é par, (-1)^n=1 e a_n=0. Se n é ímpar, (-1)^n=-1 e 1-(-1)^n=2, portanto para n ímpar
a_n=\frac{8}{n^3\pi^3}.
  • Assim a solução fica apenas com modos ímpares. Escrevendo n=2m-1 ( m=1,2,\dots) obtemos
u(x,t)=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{8}{(2m-1)^3\pi^3}\,e^{-2(2m-1)^2\pi^2 t}\,\sin\big((2m-1)\pi x\big).

Resposta

d.

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