Questão 1: Resolva os PVI’s abaixo
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial
O que nos pedem é resolver o PVI: encontrar a solução
(pelo menos implicitamente) que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
Reescrevemos a equação diferencial na forma diferencial total
. Multiplicando ambos os lados por
e reorganizando:
Assim podemos identificar
Passo 3
Vou explicar o conceito usado aqui: uma equação diferencial na forma
é exata se existe uma função potencial
tal que
e
. Uma maneira prática de checar exatidão é verificar se
num domínio onde as funções são suficientemente suaves. Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata. Excelente — isso significa que existe
com as propriedades acima e a solução será dada implicitamente por
.
Passo 4
Agora encontramos a função potencial
. Começamos integrando
em relação a
, tratando
como constante:
Como
é constante no integral em
, temos
onde
é uma função arbitrária de
(pois ao integrar em
aparece uma “constante” que pode depender de
). Simplificando:
Passo 5
Agora usamos a condição
para determinar
. Calculamos
:
Devemos ter
. Igualando,
Integrando
obtemos
(constantinho global
).
Passo 6
Logo a função potencial completa é
A solução geral implícita da equação exata é
. Podemos agrupar em uma só constante e escrever a solução implícita como
Agora aplicamos a condição inicial
. Calculamos:
Substituindo na expressão para
:
Portanto
. A solução do PVI, em forma implícita, é
ou reorganizando,
Passo 7
Comentário final (didático e prático): chegamos a uma solução implícita
. Nem sempre é possível isolar
em função de
por uma fórmula elementar quando aparece
e
misturados — aqui a equação é transcendente em
, então a forma implícita é a resposta adequada para a maioria das provas. A condição inicial foi usada para fixar a constante e garantir que essa curva implícita passa pelo ponto dado. Fique tranquilo: essa é uma solução completa e correta do PVI.