Questão 1: Resolva os PVI’s abaixo
\frac{d y}{d x}=\frac{\operatorname{sen} x \operatorname{tg} y+1}{\cos x \operatorname{sec} ^{2} y+2}, \quad y\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{4}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial
\frac{dy}{dx}=\frac{\sin x\,\tan y+1}{\cos x\,\operatorname{sec}^{2}y+2}, \qquad y\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{4}.
O que nos pedem é resolver o PVI: encontrar a solução y(x) (pelo menos implicitamente) que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{Dado: }\frac{dy}{dx}=\frac{\sin x\,\tan y+1}{\cos x\,\operatorname{sec}^{2}y+2}.
\text{Condição inicial: }y\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{4}.çã

Passo 2

Reescrevemos a equação diferencial na forma diferencial total M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0. Multiplicando ambos os lados por dx e reorganizando:
\bigl-(\sin x\,\tan y+1\bigr)\,dx + \bigl(\cos x\,\operatorname{sec}^{2}y+2\bigr)\,dy=0.
Assim podemos identificar
M(x,y)=-(\sin x\,\tan y+1),\qquad N(x,y)=\cos x\,\operatorname{sec}^{2}y+2.

Passo 3

Vou explicar o conceito usado aqui: uma equação diferencial na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é exata se existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que \partial\Phi/\partial x=M e \partial\Phi/\partial y=N. Uma maneira prática de checar exatidão é verificar se
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
num domínio onde as funções são suficientemente suaves. Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=-\sin x\cdot\frac{d}{dy}(\tan y) = -\sin x\,\operatorname{sec}^{2}y,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{d}{dx}(\cos x\,\operatorname{sec}^{2}y+2) = -\sin x\,\operatorname{sec}^{2}y.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a equação é exata. Excelente — isso significa que existe \Phi(x,y) com as propriedades acima e a solução será dada implicitamente por \Phi(x,y)=C.

Passo 4

Agora encontramos a função potencial \Phi(x,y). Começamos integrando M(x,y) em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y)=\int M(x,y)\,dx=\int -(\sin x\,\tan y+1)\,dx.
Como \tan y é constante no integral em x, temos
\Phi(x,y)=-\tan y\int \sin x\,dx -\int 1\,dx = -\tan y(-\cos x) - x + h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y (pois ao integrar em x aparece uma “constante” que pode depender de y). Simplificando:
\Phi(x,y)=\tan y\cos x - x + h(y).

Passo 5

Agora usamos a condição \partial\Phi/\partial y=N(x,y) para determinar h(y). Calculamos \partial\Phi/\partial y:
\frac{\partial\Phi}{\partial y}=\frac{d}{dy}(\tan y)\cos x + h'(y)=\operatorname{sec}^{2}y\cos x + h'(y).
Devemos ter \partial\Phi/\partial y=N(x,y)=\cos x\,\operatorname{sec}^{2}y+2. Igualando,
\operatorname{sec}^{2}y\cos x + h'(y)=\operatorname{sec}^{2}y\cos x + 2 \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=2.
Integrando h'(y)=2 obtemos h(y)=2y + C (constantinho global C).

Passo 6

Logo a função potencial completa é
\Phi(x,y)=\tan y\cos x - x + 2y + C.
A solução geral implícita da equação exata é \Phi(x,y)=\text{constante}. Podemos agrupar em uma só constante e escrever a solução implícita como
\tan y\cos x - x + 2y = C.
Agora aplicamos a condição inicial \,x=\frac{\pi}{2},\\ y=\frac{\pi}{4}. Calculamos:
\tan\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=1,\qquad \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0.
Substituindo na expressão para \Phi:
1\cdot 0 - \frac{\pi}{2} + 2\cdot\frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = 0.
Portanto C=0. A solução do PVI, em forma implícita, é
\tan y\cos x - x + 2y = 0,
ou reorganizando,
\tan y\cos x + 2y - x = 0.

Passo 7

Comentário final (didático e prático): chegamos a uma solução implícita \tan y\cos x + 2y - x=0. Nem sempre é possível isolar y em função de x por uma fórmula elementar quando aparece \tan y e y misturados — aqui a equação é transcendente em y, então a forma implícita é a resposta adequada para a maioria das provas. A condição inicial foi usada para fixar a constante e garantir que essa curva implícita passa pelo ponto dado. Fique tranquilo: essa é uma solução completa e correta do PVI.

Resposta

\tan y\cos x + 2y - x = 0

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