Questão 6. Resolva o problema de valor inicial
. (Fatore a equação como fizemos para a equação da onda)
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial parcial
com condições iniciais
Informações relevantes fornecidas:
- A equação é linear com coeficientes constantes e envolve derivadas mistas
. - As condições iniciais estão dadas em
(valores de e ). - O enunciado pede explicitamente que se fatore a equação, como se faz para a equação da onda.
Passo 2
Vamos tentar fatorar o operador diferencial como um produto de operadores de primeira ordem do tipo
. Explicando passo a passo:
- Aqui
significa derivar em relação a e derivar em relação a . - Ao multiplicar os dois operadores obtemos
Comparando com a equação original queremos que
Isso é um sistema para
e
; é equivalente à equação quadrática
cujas raízes são
e
. Portanto podemos escolher
e
.
Passo 3
Concluímos que a equação pode ser escrita como
ou, trocando a ordem (os operadores com coeficientes constantes comutam),
Explicação do significado: isto equivale a dizer que a aplicação sucessiva desses dois operadores dá zero. Uma forma operativa de usar isso é introduzir uma função intermediária. Defina
Então a equação acima é
. Alternativamente, pode-se definir
e obter
. Ambas as vias conduzem ao mesmo tipo de solução; vamos usar a mudança de variáveis característica que deixa tudo muito simples.
Passo 4
Introduzimos coordenadas características lineares que diagonalizam os operadores. Defina
Vou justificar: calculando as derivadas parciais nas novas variáveis encontramos
Somando e subtraindo:
Logo o operador composto é (até o fator constante)
Assim a equação
reduz-se a
Isto é muito simples: a derivada mista é zero, o que implica que
é soma de uma função de
com uma função de
.
Passo 5
Portanto a solução geral da equação homogênea é
onde
e
são funções arbitrárias (duas funções univariadas a determinar pelas condições iniciais). Esta forma é análoga à solução da equação da onda, que também é soma de duas ondas que se propagam ao longo de características, aqui as características são as retas
constante e
constante.
Passo 6
Impondo as condições iniciais em
. Primeiro
Segundo, derivando
em relação a
:
Avaliado em
dá
Agora temos um sistema de equações funcionais para
e
:
Passo 7
Para resolver esse sistema, diferencie a primeira equação em
Agora temos o sistema linear para
e
:
Somando as duas equações obtemos
obtemos
Passo 8
Integramos para obter
e
. Integrando
:
Para
precisamos passar de
para
. Se
então
e
Integrando em
:
Passo 9
Agora escrevemos
com as fórmulas encontradas e verificamos a constante livre usando
. Substituindo
obtemos
Para que isto seja
para todo
é necessário
. Podemos, por simplicidade, escolher
e
desde que a soma seja zero; o efeito é apenas um deslocamento constante que a condição inicial elimina. Assim tomamos
.
Passo 10
Portanto a solução satisfazendo as condições iniciais é
Opcionalmente pode-se notar que
, mas a forma acima já deixa explícitas as duas partes
e
.