Questão 6. Resolva o problema de valor inicial u_{x x}-3 u_{x t}-4_{t t}=0, u(x, 0)=x^{2}, u_{t}(x, 0)=e^{x}. (Fatore a equação como fizemos para a equação da onda)

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial parcial
u_{x x}-3u_{x t}-4u_{t t}=0
com condições iniciais
u(x,0)=x^{2},\qquad u_{t}(x,0)=e^{x}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é linear com coeficientes constantes e envolve derivadas mistas u_{x x},u_{x t},u_{t t}.
  • As condições iniciais estão dadas em t=0 (valores de u e u_t).
  • O enunciado pede explicitamente que se fatore a equação, como se faz para a equação da onda.

Passo 2

Vamos tentar fatorar o operador diferencial como um produto de operadores de primeira ordem do tipo (\partial_x + a\partial_t)(\partial_x + b\partial_t). Explicando passo a passo:
  • Aqui \partial_x significa derivar em relação a x e \partial_t derivar em relação a t.
  • Ao multiplicar os dois operadores obtemos
(\partial_x + a\partial_t)(\partial_x + b\partial_t) = \partial_{x x} + (a+b)\partial_{x t} + ab\,\partial_{t t}.
Comparando com a equação original queremos que
a+b=-3,\qquad ab=-4.
Isso é um sistema para a e b; é equivalente à equação quadrática
r^{2}+3r-4=0,
cujas raízes são r=1 e r=-4. Portanto podemos escolher a=1 e b=-4.

Passo 3

Concluímos que a equação pode ser escrita como
(\partial_x + \partial_t)(\partial_x -4\partial_t)u=0
ou, trocando a ordem (os operadores com coeficientes constantes comutam),
(\partial_x -4\partial_t)(\partial_x + \partial_t)u=0.
Explicação do significado: isto equivale a dizer que a aplicação sucessiva desses dois operadores dá zero. Uma forma operativa de usar isso é introduzir uma função intermediária. Defina
v=(\partial_x -4\partial_t)u.
Então a equação acima é (\partial_x + \partial_t)v=0. Alternativamente, pode-se definir w=(\partial_x + \partial_t)u e obter (\partial_x -4\partial_t)w=0. Ambas as vias conduzem ao mesmo tipo de solução; vamos usar a mudança de variáveis característica que deixa tudo muito simples.

Passo 4

Introduzimos coordenadas características lineares que diagonalizam os operadores. Defina
\eta = x-t,\qquad \xi = t+4x.
Vou justificar: calculando as derivadas parciais nas novas variáveis encontramos
\partial_x = \partial_\eta + 4\partial_\xi,\qquad \partial_t = -\partial_\eta + \partial_\xi.
Somando e subtraindo:
\partial_x + \partial_t = 5\partial_\xi,\qquad \partial_x -4\partial_t = 5\partial_\eta.
Logo o operador composto é (até o fator constante)
(\partial_x -4\partial_t)(\partial_x + \partial_t) = 25\,\partial_\eta\partial_\xi.
Assim a equação (\partial_x -4\partial_t)(\partial_x + \partial_t)u=0 reduz-se a
\partial_\eta\partial_\xi u(\eta,\xi)=0.
Isto é muito simples: a derivada mista é zero, o que implica que u é soma de uma função de \eta com uma função de \xi.

Passo 5

Portanto a solução geral da equação homogênea é
u(x,t)=A(\eta)+B(\xi)=A(x-t)+B(t+4x),
onde A e B são funções arbitrárias (duas funções univariadas a determinar pelas condições iniciais). Esta forma é análoga à solução da equação da onda, que também é soma de duas ondas que se propagam ao longo de características, aqui as características são as retas \eta= constante e \xi= constante.

Passo 6

Impondo as condições iniciais em t=0. Primeiro
u(x,0)=A(x)+B(4x)=x^{2}.
Segundo, derivando u em relação a t:
u_{t}(x,t)=-A'(x-t)+B'(t+4x).
Avaliado em t=0
u_{t}(x,0)=-A'(x)+B'(4x)=e^{x}.
Agora temos um sistema de equações funcionais para A e B:
\begin{cases} A(x)+B(4x)=x^{2},\\[4pt] - A'(x)+B'(4x)=e^{x}. \end{cases}]

Passo 7

Para resolver esse sistema, diferencie a primeira equação em x\) para relacionar \(A'\) e \(B'\): \[A'(x)+4B'(4x)=2x.
Agora temos o sistema linear para p(x)=A'(x) e q(x)=B'(4x):
\begin{cases} p(x)+4q(x)=2x,\\[4pt] - p(x)+q(x)=e^{x}. \end{cases}
Somando as duas equações obtemos 5q(x)=2x+e^{x}\], logo \[q(x)=\dfrac{2x+e^{x}}{5}.\] Substituindo numa das equações para \(p(x) obtemos
p(x)=A'(x)=\dfrac{2x-4e^{x}}{5}.]

Passo 8

Integramos para obter A e B. Integrando A':
A(s)=\int A'(s)\,ds=\int\left(\dfrac{2s-4e^{s}}{5}\right)ds =\dfrac{1}{5}\,s^{2}-\dfrac{4}{5}e^{s}+C_{1}.
Para B precisamos passar de B'(4x)=q(x) para B'(\xi). Se \xi=4x então x=\xi/4 e
B'(\xi)=q(\xi/4)=\dfrac{2(\xi/4)+e^{\xi/4}}{5}=\dfrac{\xi}{10}+\dfrac{1}{5}e^{\xi/4}.
Integrando em \xi:
B(\xi)=\int\left(\dfrac{\xi}{10}+\dfrac{1}{5}e^{\xi/4}\right)d\xi =\dfrac{\xi^{2}}{20}+\dfrac{4}{5}e^{\xi/4}+C_{2}.

Passo 9

Agora escrevemos u(x,t)=A(x-t)+B(t+4x) com as fórmulas encontradas e verificamos a constante livre usando u(x,0)=x^{2}. Substituindo t=0 obtemos
u(x,0)=\left(\dfrac{1}{5}x^{2}-\dfrac{4}{5}e^{x}+C_{1}\right) +\left(\dfrac{(4x)^{2}}{20}+\dfrac{4}{5}e^{x}+C_{2}\right) =x^{2}+C_{1}+C_{2}.
Para que isto seja x^{2} para todo x é necessário C_{1}+C_{2}=0. Podemos, por simplicidade, escolher C_{1}=0 e C_{2}=0 desde que a soma seja zero; o efeito é apenas um deslocamento constante que a condição inicial elimina. Assim tomamos C_{1}+C_{2}=0.

Passo 10

Portanto a solução satisfazendo as condições iniciais é
u(x,t)=\dfrac{1}{5}(x-t)^{2}-\dfrac{4}{5}e^{\,x-t}+\dfrac{1}{20}(t+4x)^{2}+\dfrac{4}{5}e^{\,(t+4x)/4}.
Opcionalmente pode-se notar que e^{(t+4x)/4}=e^{x}e^{t/4}, mas a forma acima já deixa explícitas as duas partes A(x-t) e B(t+4x).

Resposta

u(x,t)=\dfrac{1}{5}(x-t)^{2}-\dfrac{4}{5}e^{\,x-t}+\dfrac{1}{20}(t+4x)^{2}+\dfrac{4}{5}e^{\,(t+4x)/4}

Exercícios relacionados