Questão 5. Se u(x, 0)=\varphi(x) e u_{t}(x, 0)=\psi(x) são funções impares, mostre que a solução u(x, t) do problema de valor inicial da eq. onda é uma função impar.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial para a equação da onda em uma dimensão, com condição inicial no tempo t=0:
u_{tt}=c^{2}u_{xx},\qquad c>0,
u(x,0)=\varphi(x),\qquad u_{t}(x,0)=\psi(x).
As hipóteses são que \varphi e \psi são funções ímpares em x, isto é,
\varphi(-x)=-\varphi(x)\quad\text{e}\quad \psi(-x)=-\psi(x)\quad\text{para todo }x.
A pergunta é: mostrar que a solução u(x,t) desse problema é uma função ímpar em x para todo t; isto é, provar que
u(-x,t)=-u(x,t)\quad\text{para todo }x,t.

Passo 2

Vou usar a fórmula explícita de d’Alembert para a solução do problema inicial da equação da onda em \mathbb{R}. Essa fórmula vale quando se tem condições iniciais suficientemente regulares e diz:
u(x,t)=\tfrac{1}{2}\bigl(\varphi(x-ct)+\varphi(x+ct)\bigr)+\tfrac{1}{2c}\int_{x-ct}^{\,x+ct}\psi(s)\,ds.
Explicando essa fórmula de forma simples:
  • A solução em (x,t) é a média dos perfis iniciais deslocados para a esquerda e para a direita: \tfrac{1}{2}(\varphi(x-ct)+\varphi(x+ct)).
  • Soma-se a contribuição da velocidade inicial \psi através da integral média \tfrac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}\psi(s)\,ds.
    Aqui s é a variável de integração e c é a velocidade de propagação.

Passo 3

Lembrando o que significa função ímpar e algumas propriedades úteis:
  • \varphi ímpar implica \varphi(-y)=-\varphi(y) para todo y.
  • \psi ímpar implica \psi(-y)=-\psi(y) para todo y.
    Dessas propriedades seguem manipulações simples quando avaliamos as funções em argumentos com sinal trocado.

Passo 4

Calcular u(-x,t) aplicando a fórmula de d’Alembert substituindo x por -x:
u(-x,t)=\tfrac{1}{2}\bigl(\varphi(-x-ct)+\varphi(-x+ct)\bigr)+\tfrac{1}{2c}\int_{-x-ct}^{-x+ct}\psi(s)\,ds.
Agora vamos tratar separadamente o termo com \varphi e o termo integral com \psi.

Passo 5

Tratar o termo com \varphi. Usando a ímparidade de \varphi:
\varphi(-x-ct)=-\varphi(x+ct),\qquad \varphi(-x+ct)=-\varphi(x-ct).
Substituindo em u(-x,t) o primeiro somatório fica:
\tfrac{1}{2}\bigl(\varphi(-x-ct)+\varphi(-x+ct)\bigr) =\tfrac{1}{2}\bigl(-\varphi(x+ct)-\varphi(x-ct)\bigr) =-\tfrac{1}{2}\bigl(\varphi(x-ct)+\varphi(x+ct)\bigr).

Passo 6

Tratar o termo integral com \psi. Começamos com
I:=\int_{-x-ct}^{-x+ct}\psi(s)\,ds.
Faço a mudança de variável s=-y. Então ds=-dy. Quando s=-x-ct tem-se y=x+ct. Quando s=-x+ct tem-se y=x-ct. Portanto
I=\int_{y=x+ct}^{y=x-ct}\psi(-y)\,(-dy) =\int_{x-ct}^{x+ct}\psi(-y)\,dy.
Agora uso a ímparidade de \psi, isto é \psi(-y)=-\psi(y). Assim
I=\int_{x-ct}^{x+ct}(-\psi(y))\,dy=-\int_{x-ct}^{x+ct}\psi(y)\,dy.
Portanto o termo integral em u(-x,t) vale
\tfrac{1}{2c}I=-\tfrac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}\psi(y)\,dy.

Passo 7

Juntando os resultados dos passos anteriores, obtemos
u(-x,t)=-\tfrac{1}{2}\bigl(\varphi(x-ct)+\varphi(x+ct)\bigr)-\tfrac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}\psi(s)\,ds.
Mas o lado direito é exatamente -u(x,t), porque por d’Alembert
u(x,t)=\tfrac{1}{2}\bigl(\varphi(x-ct)+\varphi(x+ct)\bigr)+\tfrac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}\psi(s)\,ds.
Logo concluímos que
u(-x,t)=-u(x,t)\quad\text{para todo }x,t,
ou seja, u(\cdot,t) é ímpar em x para todo t.

Passo 8

Comentário adicional (intuitivo e útil para a prova): outra maneira curta é notar que, definindo v(x,t):=-u(-x,t), a função v satisfaz a mesma equação da onda e as mesmas condições iniciais que u (porque \varphi e \psi são ímpares). Pela unicidade do problema de valor inicial para a equação da onda segue v\equiv u, ou seja u(-x,t)=-u(x,t). Essa abordagem evita cálculo explícito da integral e usa simetria + unicidade.

Resposta

u(-x,t)=-u(x,t), ou seja, u(x,t) é ímpar em x para todo t.

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