Questão 5. Se
e
são funções impares, mostre que a solução
do problema de valor inicial da eq. onda é uma função impar.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial para a equação da onda em uma dimensão, com condição inicial no tempo
:
As hipóteses são que
e
são funções ímpares em
, isto é,
A pergunta é: mostrar que a solução
desse problema é uma função ímpar em
para todo
; isto é, provar que
Passo 2
Vou usar a fórmula explícita de d’Alembert para a solução do problema inicial da equação da onda em
. Essa fórmula vale quando se tem condições iniciais suficientemente regulares e diz:
Explicando essa fórmula de forma simples:
- A solução em
é a média dos perfis iniciais deslocados para a esquerda e para a direita: . - Soma-se a contribuição da velocidade inicial
através da integral média .
Aquié a variável de integração e é a velocidade de propagação.
Passo 3
Lembrando o que significa função ímpar e algumas propriedades úteis:
-
ímpar implica para todo . -
ímpar implica para todo .
Dessas propriedades seguem manipulações simples quando avaliamos as funções em argumentos com sinal trocado.
Passo 4
Calcular
aplicando a fórmula de d’Alembert substituindo
por
:
Agora vamos tratar separadamente o termo com
e o termo integral com
.
Passo 5
Tratar o termo com
. Usando a ímparidade de
:
Substituindo em
o primeiro somatório fica:
Passo 6
Tratar o termo integral com
. Começamos com
Faço a mudança de variável
. Então
. Quando
tem-se
. Quando
tem-se
. Portanto
Agora uso a ímparidade de
, isto é
. Assim
Portanto o termo integral em
vale
Passo 7
Juntando os resultados dos passos anteriores, obtemos
Mas o lado direito é exatamente
, porque por d’Alembert
Logo concluímos que
ou seja,
é ímpar em
para todo
.
Passo 8
Comentário adicional (intuitivo e útil para a prova): outra maneira curta é notar que, definindo
, a função
satisfaz a mesma equação da onda e as mesmas condições iniciais que
(porque
e
são ímpares). Pela unicidade do problema de valor inicial para a equação da onda segue
, ou seja
. Essa abordagem evita cálculo explícito da integral e usa simetria + unicidade.