Questão 9. Resolva os problemas abaixo:
Encontre o valor médio de f(x)=x \cos 2 x no intervalo \left[0, \frac{\pi}{2}\right].

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor médio da função
f(x)=x\cos 2x
no intervalo \left[0,\frac{\pi}{2}\right]. O conteúdo aqui é o cálculo de valor médio de uma função contínua, que usa a fórmula do valor médio baseada na integral definida.

Passo 2

A fórmula do valor médio de f em [a,b] é
\bar f = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f(x)\,dx.
No nosso caso a=0 e b=\frac{\pi}{2}, logo
\bar f = \frac{1}{\frac{\pi}{2}-0} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x\cos2x \,dx = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x\cos2x \,dx.

Passo 3

Para calcular \displaystyle \int x\cos2x\,dx vamos usar integração por partes. Tomando
u = x,\quad dv = \cos2x\,dx,
temos
du = dx,\quad v = \int \cos2x\,dx = \tfrac{1}{2}\sin2x.
Então
\int x\cos2x\,dx = uv - \int v\,du = \frac{x}{2}\sin2x - \int \frac{1}{2}\sin2x\,dx = \frac{x}{2}\sin2x + \frac{1}{4}\cos2x + C.

Passo 4

Agora avaliamos a integral definida:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x\cos2x\,dx = \biggl[\frac{x}{2}\sin2x + \frac{1}{4}\cos2x\biggr]_{0}^{\frac{\pi}{2}}.
Em x=\frac{\pi}{2} vem
\frac{\pi/2}{2}\sin\pi + \frac{1}{4}\cos\pi = 0 + \frac{1}{4}(-1) = -\tfrac{1}{4},
e em x=0 vem
\frac{0}{2}\sin0 + \frac{1}{4}\cos0 = 0 + \frac{1}{4} = \tfrac{1}{4}.
Portanto
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x\cos2x\,dx = \bigl(-\tfrac{1}{4}\bigr) - \tfrac{1}{4} = -\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Substituindo de volta na fórmula do valor médio:
\bar f = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x\cos2x\,dx = \frac{2}{\pi} \bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr) = -\frac{1}{\pi}.

Resposta

O valor médio de f(x)=x\cos2x em \left[0,\frac{\pi}{2}\right] é
-\frac{1}{\pi}.

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