Reescreva a integral
\int_{-1}^{1} \int_{x}^{1} \int_{0}^{1-y} f(x, y, z) d z d y d x
como uma integral iterada na ordem d x d y d z.

Passo 1

O enunciado pede para reescrever a integral tripla
\int_{-1}^{1} \int_{x}^{1} \int_{0}^{1-y} f(x, y, z)\,dz\,dy\,dx
na ordem de integração dx\,dy\,dz.
O conteúdo é manipulação de regiões em \mathbb{R}^3 e mudança de ordem de integração, usando projeções sucessivas do domínio.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos o domínio
D = \{(x,y,z)\mid -1 \le x \le 1,\; x \le y \le 1,\; 0 \le z \le 1 - y\}.
Para trocar a ordem para dx\,dy\,dz, vamos projetar D primeiro no eixo z, depois no eixo y, e então determinar o intervalo de x.

Passo 3

Projete D no eixo z.
A condição 0 \le z \le 1 - y e y \ge x \ge -1 implica que, para existir algum (x,y), devemos ter
1 - y \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad y \le 1,
e também y \ge -1. Como y pode chegar até -1, a maior faixa de z é
0 \le z \le 1 - (-1) = 2.
Portanto,
z \in [0,2].

Passo 4

Para cada z fixo em [0,2], o y deve satisfazer simultaneamente
-1 \le y \le 1 \quad\text{e}\quad z \le 1 - y \;\Longleftrightarrow\; y \le 1 - z.
Como 1 - z \le 1 quando z \ge 0, o intervalo de y é
y \in [-1,\,1 - z].

Passo 5

Finalmente, para cada par (y,z) com y\in[-1,1-z] e z\in[0,2], a variável x varia de -1 até y, pois originalmente temos x\in[-1,1] e x\le y.
Logo,
x \in [-1,\,y].

Resposta

\int_{-1}^{1} \!\int_{x}^{1} \!\int_{0}^{1-y} f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx = \int_{0}^{2}\!\int_{-1}^{1-z}\!\int_{-1}^{y} f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.

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