Quais séries convergem? E quais divergem?
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{(n!)^{n}}{\left(n^{n}\right)^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} a_n,
onde
a_n = \frac{(n!)^n}{\bigl(n^n\bigr)^2} = \frac{(n!)^n}{n^{2n}}.
O conteúdo que vamos usar é o teste da razão, aliado a uma comparação assintótica (por exemplo, a fórmula de Stirling) para estimar o comportamento de a_{n+1}/a_n.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão. Primeiro escrevemos
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\bigl((n+1)!\bigr)^{\,n+1}}{(n+1)^{2(n+1)}}\;\Big/\;\frac{(n!)^n}{n^{2n}} = \frac{\bigl((n+1)!\bigr)^{\,n+1}}{(n!)^n}\;\frac{n^{2n}}{(n+1)^{2n+2}}.
Como (n+1)!=(n+1)\,n!, isso fica
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{\,n+1}\,(n!)^{\,n+1}}{(n!)^n}\;\frac{n^{2n}}{(n+1)^{2n+2}} = (n!)\;\frac{n^{2n}}{(n+1)^{n+1}}.

Passo 3

Para ver o comportamento de \frac{a_{n+1}}{a_n}, usamos, por exemplo, a fórmula de Stirling num formato simplificado:
n! \sim n^n e^{-n}\sqrt{2\pi n}.
Logo, para grandes n,
n! \approx n^n e^{-n}\times(\text{fatores polinomiais em }n).
Substituindo em \frac{a_{n+1}}{a_n}, obtemos algo como
\frac{a_{n+1}}{a_n} \approx n^n e^{-n}\,\frac{n^{2n}}{(n+1)^{n+1}} = e^{-n}\;\frac{n^{3n}}{(n+1)^{n+1}}.
Agora note que para todo n\ge3, n+1 < n^2, então
\frac{n^{3n}}{(n+1)^{n+1}} > \frac{n^{3n}}{(n^2)^{n+1}} = \frac{n^{3n}}{n^{2n+2}} = n^{n-2}.
Assim
\frac{a_{n+1}}{a_n} > e^{-n}\,n^{\,n-2}.
E e^{-n}n^{n-2}\to\infty quando n\to\infty.

Passo 4

Como \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \infty > 1, o teste da razão garante que, a partir de algum N, temos \frac{a_{n+1}}{a_n}>1. Isso implica que a_n não tende a zero e que os termos crescem enormemente. Logo, a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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