Quais séries convergem? E quais divergem?
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da série
onde
O conteúdo que vamos usar é o teste da razão, aliado a uma comparação assintótica (por exemplo, a fórmula de Stirling) para estimar o comportamento de
.
Passo 2
Aplicamos o teste da razão. Primeiro escrevemos
Como
, isso fica
Passo 3
Para ver o comportamento de
, usamos, por exemplo, a fórmula de Stirling num formato simplificado:
Logo, para grandes
,
Substituindo em
, obtemos algo como
Agora note que para todo
,
, então
Assim
E
quando
.
Passo 4
Como
, o teste da razão garante que, a partir de algum
, temos
. Isso implica que
não tende a zero e que os termos crescem enormemente. Logo, a série diverge.
Resposta
A série diverge.