Questão 9. Resolva os problemas abaixo:
Seja f_{\text {med }} o valor médio da função f(x)=4-x^{2} no intervalo [0,2]. Encontre c tal que f_{\text {med }}=f\text{(c)}.

Passo 1

O enunciado pede o valor médio de f(x)=4 - x^2 no intervalo [0,2] e em seguida encontrar um ponto c em [0,2] tal que
f_{\text{med}} = f\text{(c)}.
Aqui vamos usar o conceito de valor médio de uma função contínua:
f_{\text{med}} = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x,
e depois resolver a equação f\text{(c)}=f_{\text{med}}.

Passo 2

Aplicando a fórmula ao nosso caso com a=0 e b=2, temos
f_{\text{med}} = \frac{1}{2 - 0} \int_{0}^{2} \bigl(4 - x^2\bigr)\,\mathrm{d}x = \tfrac12 \int_{0}^{2} (4 - x^2)\,\mathrm{d}x.

Passo 3

Vamos calcular a integral
\int_{0}^{2} (4 - x^2)\,\mathrm{d}x = \left[4x - \frac{x^3}{3}\right]_{0}^{2} = \bigl(4\cdot 2 - \tfrac{2^3}{3}\bigr) - 0 = 8 - \tfrac{8}{3} = \tfrac{24 - 8}{3} = \tfrac{16}{3}.

Passo 4

Substituindo na expressão de f_{\text{med}}, obtemos
f_{\text{med}} = \tfrac12 \cdot \tfrac{16}{3} = \tfrac{8}{3}.

Passo 5

Agora impomos f\text{(c)}=f_{\text{med}}, ou seja
4 - c^2 = \tfrac{8}{3} \quad\Longrightarrow\quad c^2 = 4 - \tfrac{8}{3} = \tfrac{12 - 8}{3} = \tfrac{4}{3}.

Passo 6

Da equação acima tiramos
c = \pm \sqrt{\tfrac{4}{3}} = \pm \tfrac{2}{\sqrt{3}}.
Como c precisa estar em [0,2], ficamos com
c = \frac{2}{\sqrt{3}}.

Resposta

c = \displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}.

Exercícios relacionados