Quais séries convergem? E quais divergem?
Passo 1
O enunciado pergunta sobre a convergência da série numérica
O conteúdo aqui é análise de séries pelo método de decomposição em frações parciais e soma telescópica.
Passo 2
Note que, para
, o termo
fica
, indefinido. Portanto, reescrevemos a série começando em
:
Em seguida fazemos a decomposição em frações parciais:
Passo 3
Formamos a soma parcial
. Substituindo a decomposição:
Ao escrever os primeiros e últimos termos, vê-se o cancelamento telescópico:
Passo 4
Para
temos
e
. Logo
Isso mostra que a série converge e seu valor é
.
Resposta
A série converge (e seu somatório é
).