Quais séries convergem? E quais divergem?
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n^{2}-1}\right)

Passo 1

O enunciado pergunta sobre a convergência da série numérica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}-1}.
O conteúdo aqui é análise de séries pelo método de decomposição em frações parciais e soma telescópica.

Passo 2

Note que, para n=1, o termo \frac{1}{1^2-1} fica \frac{1}{0}, indefinido. Portanto, reescrevemos a série começando em n=2:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}-1} \;=\; \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}-1}.
Em seguida fazemos a decomposição em frações parciais:
\frac{1}{n^{2}-1} =\frac{1}{(n-1)(n+1)} =\frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}\Bigr).

Passo 3

Formamos a soma parcial S_{N}=\sum_{n=2}^{N}\frac{1}{n^{2}-1}. Substituindo a decomposição:
S_{N} =\frac{1}{2} \sum_{n=2}^{N}\Bigl(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}\Bigr).
Ao escrever os primeiros e últimos termos, vê-se o cancelamento telescópico:
S_{N} =\frac{1}{2}\Bigl[ (1-\tfrac{1}{3}) +(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{4}) +(\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{5}) +\cdots +(\tfrac{1}{N-1}-\tfrac{1}{N+1}) \Bigr] =\frac{1}{2}\Bigl(1+\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{N}-\tfrac{1}{N+1}\Bigr).

Passo 4

Para N\to\infty temos \tfrac{1}{N}\to0 e \tfrac{1}{N+1}\to0. Logo
\lim_{N\to\infty}S_{N} =\frac{1}{2}\Bigl(1+\tfrac{1}{2}\Bigr) =\frac{3}{4}.
Isso mostra que a série converge e seu valor é \tfrac{3}{4}.

Resposta

A série converge (e seu somatório é \tfrac{3}{4}).

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