Questão 6. Resolva os problemas de valor inicial:
y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=f(t), \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1\), em que \(f(t)= \begin{cases}0, & \text { para } 0 \leq t<2 \\\\ 1, & \text { para } t \geq 2\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear não homogênea de segunda ordem
y''+3y'+2y = f(t),
com condições iniciais y(0)=0\), \(y'(0)=1\), em que \[f(t)= \begin{cases} 0, & 0 \le t<2,\\\\ 1, & t\ge2. \end{cases}
O conteúdo necessário é o uso da transformada de Laplace e da função degrau (Heaviside) para tratar a descontinuidade em (t=2].

Passo 2

Escrevemos f(t) em termos da função degrau:
f(t) = u(t-2)\,,
onde u(t-2)=0 para t<2 e u(t-2)=1 para t\ge2. Tomando a transformada de Laplace de ambos os lados da EDO, lembrando que
\mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)=s^2Y(s)-1, \quad \mathcal{L}\{y'\}=sY(s),
e
\mathcal{L}\{u(t-2)\} = \frac{e^{-2s}}{s},
obtemos
\bigl(s^2Y(s)-1\bigr) +3\bigl(sY(s)\bigr) +2Y(s) = \frac{e^{-2s}}{s}.
Logo,
(s^2+3s+2)\,Y(s) -1 = \frac{e^{-2s}}{s} \quad\Longrightarrow\quad Y(s) = \frac{1}{s^2+3s+2} \;+\;\frac{e^{-2s}}{s\,(s^2+3s+2)}.

Passo 3

Separamos
Y(s) = Y_1(s) + e^{-2s}\,Y_2(s),
com
Y_1(s) = \frac{1}{(s+1)(s+2)}, \quad Y_2(s)=\frac{1}{s\,(s+1)(s+2)}.
Para Y_1(s) fazemos frações parciais:
\frac{1}{(s+1)(s+2)} = \frac{1}{s+1} - \frac{1}{s+2}.
Invertendo, obtemos
y_1(t) = e^{-t} - e^{-2t}.

Passo 4

Para Y_2(s)=1/[s(s+1)(s+2)] fazemos frações parciais:
\frac{1}{s(s+1)(s+2)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s+1} + \frac{C}{s+2}.
Resolvendo,
A=\tfrac12,\quad B=-1,\quad C=\tfrac12,
de modo que
Y_2(s) = \frac{1/2}{s} \;-\;\frac{1}{s+1}\;+\;\frac{1/2}{s+2}.
Invertendo cada termo, obtemos
g(t) = \tfrac12 - e^{-t} + \tfrac12\,e^{-2t}.

Passo 5

Pela propriedade do deslocamento na transformada,
\mathcal{L}^{-1}\{e^{-2s}Y_2(s)\} = u(t-2)\,g(t-2).
Então a parte forçada é
y_2(t) = u(t-2)\Bigl[\tfrac12 - e^{-(t-2)} + \tfrac12\,e^{-2(t-2)}\Bigr].

Passo 6

A solução completa é
y(t) = y_1(t) + y_2(t) = e^{-t}-e^{-2t} + u(t-2)\Bigl[\tfrac12 - e^{-(t-2)} + \tfrac12\,e^{-2(t-2)}\Bigr].

Resposta

y(t) = \begin{cases} e^{-t}-e^{-2t}, & 0 \le t<2,\\\ e^{-t}-e^{-2t} + \displaystyle \frac{1}{2} - e^{-(t-2)} + \frac{1}{2} e^{-2(t-2)}, & t\ge2. \end{cases}

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