Questão 6. Resolva os problemas de valor inicial:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO linear não homogênea de segunda ordem
com condições iniciais
O conteúdo necessário é o uso da transformada de Laplace e da função degrau (Heaviside) para tratar a descontinuidade em (t=2].
Passo 2
Escrevemos
em termos da função degrau:
onde
para
e
para
. Tomando a transformada de Laplace de ambos os lados da EDO, lembrando que
e
obtemos
Logo,
Passo 3
Separamos
com
Para
fazemos frações parciais:
Invertendo, obtemos
Passo 4
Para
fazemos frações parciais:
Resolvendo,
de modo que
Invertendo cada termo, obtemos
Passo 5
Pela propriedade do deslocamento na transformada,
Então a parte forçada é
Passo 6
A solução completa é