Questão 5. Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace:
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=3 t e^{2 t}, \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0.

Passo 1

Resumindo o enunciado, queremos resolver a EDO
y'' - 2y' - 3y = 3t e^{2t}
com as condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0.
O método será a transformada de Laplace, lembrando que
\mathcal L\{y'\}(s)=sY(s)-y(0) e
\mathcal L\{y''\}(s)=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0).

Passo 2

Aplicando \mathcal L\{\cdot\} em cada termo da EDO e usando as condições iniciais, obtemos
\bigl(s^2Y - s\cdot1 - 0\bigr)\;-\;2\bigl(sY-1\bigr)\;-\;3Y \;=\;3\,\mathcal L\{t e^{2t}\}(s).
Como \mathcal L\{t e^{2t}\}(s)=\tfrac{1}{(s-2)^2}, o lado direito vira \tfrac{3}{(s-2)^2}.

Passo 3

Reunindo termos em Y(s) no lado esquerdo:
\bigl(s^2 -2s -3\bigr)Y(s)\;-\;s+2 \;=\;\frac{3}{(s-2)^2}.
Logo
Y(s) =\frac{\displaystyle \frac{3}{(s-2)^2} \;+\;(s-2)}{(s-3)(s+1)} =\frac{s-2}{(s-3)(s+1)}\;+\;\frac{3}{(s-2)^2\,(s-3)(s+1)}.

Passo 4

Chamamos
Y_h(s)=\frac{s-2}{(s-3)(s+1)},
que é a parte homogênea. Fazendo frações parciais:
\frac{s-2}{(s-3)(s+1)} =\frac{A}{s-3}+\frac{B}{s+1},
temos A+B=1 e A-3B=-2, daí A=\tfrac14, B=\tfrac34.
Invertendo,
y_h(t)=\tfrac14e^{3t}+\tfrac34e^{-t}.

Passo 5

Agora a parte particular
Y_p(s)=\frac{3}{(s-2)^2(s-3)(s+1)} =\frac{A}{s-2}+\frac{B}{(s-2)^2}+\frac{C}{s-3}+\frac{D}{s+1}.
Fazendo choques em s=2,3,-1 e um valor extra, obtemos
B=-1,\quad C=\tfrac34,\quad D=-\tfrac1{12},\quad A=-\tfrac23.

Passo 6

Invertendo termo a termo:
\mathcal L^{-1}\{\tfrac{A}{s-2}\}=-\tfrac23\,e^{2t},\quad \mathcal L^{-1}\{\tfrac{B}{(s-2)^2}\}=-t\,e^{2t},
\mathcal L^{-1}\{\tfrac{C}{s-3}\}=\tfrac34e^{3t},\quad \mathcal L^{-1}\{\tfrac{D}{s+1}\}=-\tfrac1{12}e^{-t}.
Logo
y_p(t)=-\tfrac23e^{2t}-t\,e^{2t}+\tfrac34e^{3t}-\tfrac1{12}e^{-t}.

Passo 7

Somando y_h+y_p e agrupando termos semelhantes:
y(t) =\Bigl(\tfrac14+\tfrac34\Bigr)e^{3t} +\Bigl(\tfrac34-\tfrac1{12}\Bigr)e^{-t} -\Bigl(\tfrac23+t\Bigr)e^{2t} =e^{3t}+\tfrac23e^{-t}-\bigl(t+\tfrac23\bigr)e^{2t}.

Resposta

y(t)=e^{3t}+\frac{2}{3}e^{-t}-\Bigl(t+\frac{2}{3}\Bigr)e^{2t}.

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