Verifique que a matriz dada satisfaz a equação diferencial:
\boldsymbol{\Phi}^{\'}=\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\\\ 4 & -2\end{array}\right] \boldsymbol{\Phi}, \quad \boldsymbol{\Phi}=\left[\begin{array}{cc}e^{-3 t} & e^{2 t} \\\\ -4 e^{-3 t} & e^{2 t}\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função matriz
\boldsymbol{\Phi}(t)=\begin{pmatrix} e^{-3t} & e^{2t}\\\\ -4e^{-3t} & e^{2t} \end{pmatrix}
satisfaz o sistema linear
\boldsymbol{\Phi}'(t)=A\,\boldsymbol{\Phi}(t), \qquad A=\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 4 & -2\end{pmatrix}.
O que vamos fazer: ( 1) calcular \boldsymbol{\Phi}'(t) derivando cada entrada; ( 2) calcular A\,\boldsymbol{\Phi}(t) por multiplicação de matrizes; ( 3) comparar os resultados.

Passo 2

Derivando cada entrada de \boldsymbol{\Phi}(t), obtemos
\boldsymbol{\Phi}'(t) = \begin{pmatrix} \frac{d}{dt}e^{-3t} & \frac{d}{dt}e^{2t}\\[6pt] \frac{d}{dt}\bigl(-4e^{-3t}\bigr) & \frac{d}{dt}e^{2t} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3e^{-3t} & 2e^{2t}\\[6pt] 12e^{-3t} & 2e^{2t} \end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora calculamos A\,\boldsymbol{\Phi}(t):
A\,\boldsymbol{\Phi}(t) = \begin{pmatrix}1 & 1\\\ 4 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{-3t} & e^{2t}\\\\ -4e^{-3t} & e^{2t} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot e^{-3t}+1\cdot(-4e^{-3t}) & 1\cdot e^{2t}+1\cdot e^{2t}\\[6pt] 4\cdot e^{-3t}+(-2)\cdot(-4e^{-3t}) & 4\cdot e^{2t}+(-2)\cdot e^{2t} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3e^{-3t} & 2e^{2t}\\[6pt] 12e^{-3t} & 2e^{2t} \end{pmatrix}.]

Passo 4

Comparando
\boldsymbol{\Phi}'(t) = \begin{pmatrix} -3e^{-3t} & 2e^{2t}\\\\ 12e^{-3t} & 2e^{2t} \end{pmatrix} \quad\text{e}\quad A\,\boldsymbol{\Phi}(t) = \begin{pmatrix} -3e^{-3t} & 2e^{2t}\\\\ 12e^{-3t} & 2e^{2t} \end{pmatrix},
vemos que são iguais para todo t.

Resposta

Logo,
\boldsymbol{\Phi}'(t)=A\,\boldsymbol{\Phi}(t),
como era para ser verificado.

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