Verifique que a matriz dada satisfaz a equação diferencial: \boldsymbol{\Phi}^{\'}=\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\\\ 4 & -2\end{array}\right] \boldsymbol{\Phi}, \quad \boldsymbol{\Phi}=\left[\begin{array}{cc}e^{-3 t} & e^{2 t} \\\\ -4 e^{-3 t} & e^{2 t}\end{array}\right]. Passo 1O enunciado pede para verificar que a função matriz \boldsymbol{\Phi}(t)=\begin{pmatrix} e^{-3t} & e^{2t}\\\\ -4e^{-3t} & e^{2t} \end{pmatrix} satisfaz o sistema linear \boldsymbol{\Phi}'(t)=A\,\boldsymbol{\Phi}(t), \qquad A=\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 4 & -2\end{pmatrix}. O que vamos fazer: ( 1) calcular \boldsymbol{\Phi}'(t) derivando cada entrada; ( 2) calcular A\,\boldsymbol{\Phi}(t) por multiplicação de matrizes; ( 3) comparar os resultados. Passo 2Derivando cada entrada de \boldsymbol{\Phi}(t), obtemos \boldsymbol{\Phi}'(t) = \begin{pmatrix} \frac{d}{dt}e^{-3t} & \frac{d}{dt}e^{2t}\\[6pt] \frac{d}{dt}\bigl(-4e^{-3t}\bigr) & \frac{d}{dt}e^{2t} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3e^{-3t} & 2e^{2t}\\[6pt] 12e^{-3t} & 2e^{2t} \end{pmatrix}.] Passo 3Agora calculamos A\,\boldsymbol{\Phi}(t): A\,\boldsymbol{\Phi}(t) = \begin{pmatrix}1 & 1\\\ 4 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{-3t} & e^{2t}\\\\ -4e^{-3t} & e^{2t} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot e^{-3t}+1\cdot(-4e^{-3t}) & 1\cdot e^{2t}+1\cdot e^{2t}\\[6pt] 4\cdot e^{-3t}+(-2)\cdot(-4e^{-3t}) & 4\cdot e^{2t}+(-2)\cdot e^{2t} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3e^{-3t} & 2e^{2t}\\[6pt] 12e^{-3t} & 2e^{2t} \end{pmatrix}.] Passo 4Comparando \boldsymbol{\Phi}'(t) = \begin{pmatrix} -3e^{-3t} & 2e^{2t}\\\\ 12e^{-3t} & 2e^{2t} \end{pmatrix} \quad\text{e}\quad A\,\boldsymbol{\Phi}(t) = \begin{pmatrix} -3e^{-3t} & 2e^{2t}\\\\ 12e^{-3t} & 2e^{2t} \end{pmatrix}, vemos que são iguais para todo t. RespostaLogo, \boldsymbol{\Phi}'(t)=A\,\boldsymbol{\Phi}(t), como era para ser verificado. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosNos seguintes problemas verifique que o vetor dado satisfaz a equação diferencial: \mathbf{X}^{\prime}=\left[\begin{array}{ll}3 & -2 \\\\ 2 & -2\end{array}\right] \mathbf{X}, \quad \mathbf{X}=\left[\begin{array}{l}4 \\\\ 2\end{array}\right] e^{2 t}. Lembrando que o Wronskiano de três funções f, g e h as quais têm primeira e segunda derivada, é definido como o determinante da matriz 3 \times 3 dada pelas funções na primeira linha, as primeiras derivadas das funções na segunda linha e as segundas derivadas na terceira, isto é, \operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc} f & g & h \\\ f^{\prime} & g^{\prime} & h^{\prime} \\\ f^{\prime \prime} & g^{\prime \prime} & h^{\prime \prime} \end{array}\right) calcule o Wronskiano dos seguintes conjuntos de funções e determine o conjunto de pontos onde é diferente de zero. \left\{e^{x},-e^{-2 x}, x\right\} Questão 5. Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace: y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=3 t e^{2 t}, \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0. Questão 6. Resolva os problemas de valor inicial: y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=f(t), \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1\), em que \(f(t)= \begin{cases}0, & \text { para } 0 \leq t<2 \\\\ 1, & \text { para } t \geq 2\end{cases}