Nos seguintes problemas verifique que o vetor dado satisfaz a equação diferencial:
\mathbf{X}^{\prime}=\left[\begin{array}{ll}3 & -2 \\\\ 2 & -2\end{array}\right] \mathbf{X}, \quad \mathbf{X}=\left[\begin{array}{l}4 \\\\ 2\end{array}\right] e^{2 t}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função
\mathbf{X}(t)=\begin{pmatrix}4\\\ 2\end{pmatrix}e^{2t}
é solução do sistema
\mathbf{X}'=A\mathbf{X}, \quad A=\begin{pmatrix}3 & -2\\\ 2 & -2\end{pmatrix}.
Vamos calcular \mathbf{X}'(t) e comparar com A\mathbf{X}(t).

Passo 2

Calculemos a derivada de \mathbf{X}(t). Como \mathbf{X}(t)=v\,e^{2t} com v=(4,2)^T, temos
\mathbf{X}'(t)=v\cdot\frac{d}{dt}(e^{2t}) = v\cdot(2e^{2t}) =\begin{pmatrix}8\\\ 4\end{pmatrix}e^{2t}.

Passo 3

Agora multipliquemos A por \mathbf{X}(t):
A\mathbf{X}(t) =\begin{pmatrix}3 & -2\\\ 2 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}4\\\ 2\end{pmatrix}e^{2t} =\begin{pmatrix}3\cdot4-2\cdot2\\\ 2\cdot4-2\cdot2\end{pmatrix}e^{2t} =\begin{pmatrix}8\\\ 4\end{pmatrix}e^{2t}.

Passo 4

Observamos que
\mathbf{X}'(t)=\begin{pmatrix}8\\\ 4\end{pmatrix}e^{2t} \quad\text{e}\quad A\mathbf{X}(t)=\begin{pmatrix}8\\\ 4\end{pmatrix}e^{2t},
logo \mathbf{X}'(t)=A\mathbf{X}(t).

Resposta

A função \displaystyle \mathbf{X}(t)=\begin{pmatrix}4\\\ 2\end{pmatrix}e^{2t} satisfaz a equação diferencial \mathbf{X}'=A\mathbf{X}.

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