Questão:
Resolva o PVI
\ddot{x}+2 \dot{x}+2 x=0, x(0)=0, \dot{x}(0)=1 .

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial (PVI)
\ddot{x}+2\dot{x}+2x=0,\quad x(0)=0,\quad \dot{x}(0)=1
trata-se de uma equação diferencial ordinária linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método da equação característica para obter a solução geral e, em seguida, aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Formamos a equação característica associada substituindo x(t)=e^{rt}:
r^2 + 2r + 2 = 0.
Para resolver, usamos a fórmula de Bhaskara:
r = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4\cdot1\cdot2}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2} = -1 \pm i.

Passo 3

Como as raízes são complexas conjugadas -1 \pm i, a solução geral é
x(t) = e^{-t}\bigl(A\cos t + B\sin t\bigr),
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos a derivada para aplicar as condições iniciais:
\dot{x}(t) = \frac{d}{dt}\Bigl[e^{-t}(A\cos t + B\sin t)\Bigr] = e^{-t}\bigl(-A\cos t - B\sin t + A(-\sin t) + B\cos t\bigr) = e^{-t}\bigl((B - A)\cos t - (A + B)\sin t\bigr).
Daí, em t=0,
x(0) = A = 0,
\dot{x}(0) = (B - A) = B = 1.

Passo 5

Substituindo A=0 e B=1 na solução geral, obtemos
x(t) = e^{-t}\sin t.

Resposta

x(t) = e^{-t}\,\sin t.

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