é uma EDO linear de segunda ordem não homogênea. Para resolvê-la, vamos usar o método da variação de parâmetros. Precisamos de:
1. solução geral da homogênea \ddot{x}+x=0,
2. duas soluções fundamentais dessa homogênea,
3. fórmulas de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, a homogênea
\ddot{x} + x = 0
tem polinômio característico \lambda^2+1=0, com raízes \lambda=\pm i. Logo a solução geral da homogênea é
x_h(t) = C_1\cos t + C_2\sin t.
Passo 3
Escolhemos as soluções fundamentais
y_1(t)=\cos t,\qquad y_2(t)=\sin t.
O Wronskiano é
W = \begin{vmatrix}\cos t & \sin t \\[6pt] -\sin t & \cos t\end{vmatrix} = \cos^2 t + \sin^2 t = 1.
As fórmulas de variação de parâmetros dizem que uma solução particular pode ser escrita como