Questão:
Encontre a solução geral da equação
\ddot{x}+x=\tan (2 t)

Passo 1

A equação
\ddot{x} + x = \tan(2t)
é uma EDO linear de segunda ordem não homogênea. Para resolvê-la, vamos usar o método da variação de parâmetros. Precisamos de:
1. solução geral da homogênea \ddot{x}+x=0,
2. duas soluções fundamentais dessa homogênea,
3. fórmulas de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, a homogênea
\ddot{x} + x = 0
tem polinômio característico \lambda^2+1=0, com raízes \lambda=\pm i. Logo a solução geral da homogênea é
x_h(t) = C_1\cos t + C_2\sin t.

Passo 3

Escolhemos as soluções fundamentais
y_1(t)=\cos t,\qquad y_2(t)=\sin t.
O Wronskiano é
W = \begin{vmatrix}\cos t & \sin t \\[6pt] -\sin t & \cos t\end{vmatrix} = \cos^2 t + \sin^2 t = 1.
As fórmulas de variação de parâmetros dizem que uma solução particular pode ser escrita como
x_p(t) = u_1(t)\,y_1(t) + u_2(t)\,y_2(t),
onde
u_1'(t) = -\,\frac{y_2(t)\,f(t)}{W} \,,\qquad u_2'(t) = \frac{y_1(t)\,f(t)}{W},
com f(t)=\tan(2t).]

Passo 4

Calculamos u_1' e integramos:
u_1'(t) = -\sin t\;\tan(2t).
Usando \tan(2t)=\dfrac{\sin2t}{\cos2t}= \dfrac{2\sin t\cos t}{\cos2t},
u_1'(t) = -\,\sin t\;\frac{2\sin t\cos t}{\cos2t} = -\,\frac{2\sin^2 t\cos t}{\cos2t}.
Como \sin^2 t=\tfrac{1-\cos2t}{2},
u_1'(t) = -\,\frac{1-\cos2t}{\cos2t}\,\cos t = -\frac{\cos t}{\cos2t} + \cos t.
Integramos termo a termo:
  1. \displaystyle \int \cos t\,dt = \sin t.
  2. \displaystyle \int \frac{\cos t}{\cos2t}\,dt: ponha u=\sin t, du=\cos t\,dt e note \cos2t=1-2u^2. Então
\int \frac{\cos t}{\cos2t}\,dt = \int \frac{du}{1-2u^2} = \frac{1}{\sqrt2}\,\operatorname{arctanh}\bigl(\sqrt2\,u\bigr) = \frac{1}{\sqrt2}\,\operatorname{arctanh}\bigl(\sqrt2\sin t\bigr).
Logo
u_1(t) = -\frac{1}{\sqrt2}\,\operatorname{arctanh}\bigl(\sqrt2\sin t\bigr) + \sin t.

Passo 5

Agora u_2'(t) e sua integral:
u_2'(t) = \cos t\;\tan(2t) = \frac{2\cos^2 t\,\sin t}{\cos2t} = \frac{1+\cos2t}{\cos2t}\,\sin t = \frac{\sin t}{\cos2t} + \sin t.
Integramos:
  1. \displaystyle \int \sin t\,dt = -\cos t.
  2. \displaystyle \int \frac{\sin t}{\cos2t}\,dt: ponha w=\cos t, dw=-\sin t\,dt e \cos2t=2w^2-1. Então
\int \frac{\sin t}{\cos2t}\,dt = -\int \frac{dw}{2w^2-1} = -\frac{1}{\sqrt2}\,\operatorname{arctanh}\bigl(\sqrt2\,w\bigr) = -\frac{1}{\sqrt2}\,\operatorname{arctanh}\bigl(\sqrt2\cos t\bigr).
Logo
u_2(t) = -\frac{1}{\sqrt2}\,\operatorname{arctanh}\bigl(\sqrt2\cos t\bigr) - \cos t.

Passo 6

A solução particular é
x_p(t) = u_1(t)\cos t + u_2(t)\sin t.
Substituindo u_1 e u_2 e simplificando os termos +\sin t\cos t e -\sin t\cos t, obtemos
x_p(t) = -\frac{1}{\sqrt2}\Bigl[\cos t\,\operatorname{arctanh}(\sqrt2\sin t) \;+\;\sin t\,\operatorname{arctanh}(\sqrt2\cos t)\Bigr].

Resposta

A solução geral da equação é
\boxed{ x(t)=C_1\cos t + C_2\sin t \;-\;\frac{1}{\sqrt2}\Bigl[ \cos t\,\operatorname{arctanh}(\sqrt2\sin t) +\sin t\,\operatorname{arctanh}(\sqrt2\cos t) \Bigr] }
em que C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

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