Questão:
Resolva a equação de Bernoulli
\frac{d y}{d x}=\frac{1}{2} y+e^{-3 x} y^{4} .

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Bernoulli
\frac{dy}{dx} = \frac12\,y + e^{-3x}\,y^4.
Este é um ODE não-linear do tipo
\frac{dy}{dx} + a(x)\,y = b(x)\,y^n,
com a(x)=-\tfrac12, b(x)=e^{-3x} e n=4. Vamos usar a substituição padrão para Bernoulli, que torna a equação linear.

Passo 2

Colocamos a equação na forma
\frac{dy}{dx} - \frac12\,y = e^{-3x}\,y^4.
Aqui identificamos a(x) = -\tfrac12 e n=4. A substituição será
u = y^{\,1-n} = y^{-3}.

Passo 3

Calculamos
\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}\bigl(y^{-3}\bigr) = -3\,y^{-4}\,\frac{dy}{dx}.
Substituindo \displaystyle \frac{dy}{dx} = \tfrac12\,y + e^{-3x}\,y^4 resulta
\frac{du}{dx} = -3\,y^{-4}\Bigl(\tfrac12\,y + e^{-3x}\,y^4\Bigr) = -\frac32\,y^{-3} - 3\,e^{-3x} = -\frac32\,u - 3\,e^{-3x}.
Reescrevendo, obtemos a equação linear em u:
\frac{du}{dx} + \frac32\,u = -3\,e^{-3x}.

Passo 4

Para resolver
\frac{du}{dx} + \frac32\,u = -3\,e^{-3x},
calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int \tfrac32\,dx\Bigr) = e^{\tfrac32 x}.
Multiplicando ambos os lados por \mu(x):
\frac{d}{dx}\bigl(u\,e^{\tfrac32 x}\bigr) = -3\,e^{-3x}\,e^{\tfrac32 x} = -3\,e^{-\tfrac32 x}.
Integrando em x:
u\,e^{\tfrac32 x} = \int -3\,e^{-\tfrac32 x}\,dx = 2\,e^{-\tfrac32 x} + C,
onde C é constante de integração. Portanto
u = y^{-3} = 2\,e^{-\tfrac32 x}\,e^{-\tfrac32 x} + C\,e^{-\tfrac32 x} = 2\,e^{-3x} + C\,e^{-\tfrac32 x}.

Passo 5

Revertendo a substituição u = y^{-3}, temos
y^{-3} = C\,e^{-\tfrac32 x} + 2\,e^{-3x},
logo a solução geral é
y(x) = \bigl(C\,e^{-\tfrac32 x} + 2\,e^{-3x}\bigr)^{-\tfrac13}.

Resposta

y(x) = \bigl(C\,e^{-\tfrac32 x} + 2\,e^{-3x}\bigr)^{-\tfrac13},
com C constante arbitrária.

Exercícios relacionados