Questão 1. Resolva os PVIs abaixo:
y^prime=e^-y t, y(0)=ln (1+1)

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI y'=e^-y,t com condição inicial y(0)=ln(1+1)=ln2. O conteúdo é equação diferencial de primeira ordem do tipo variável separável, e vamos precisar separar as variáveis e integrar.

Passo 2

Escrevemos a equação na forma dydt=t,e^-y e, para separar variáveis, multiplicamos ambos os lados por e^y,dt, obtendo:
e^y,dy = t,dt

Passo 3

Agora integramos cada lado: de um lado integral e^y,dy e do outro integral t,dt. Isso nos dá:
integral e^y,dy = integral t,dt Longrightarrow e^y = t^22 + C

Passo 4

Aplicamos a condição inicial t=0, y(0)=ln2. Como e^ln2=2, temos
2 = 0^22 + C Longrightarrow C=2

Passo 5

Substituindo C de volta e isolando y, vem:
e^y = t^22 + 2 Longrightarrow y = lnl(tfract^22 + 2r)

Resposta

y(t)=lnl(tfract^22+2r)

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